Question

у прямокутному трикутнику меДіана що проведена до гіпотенузи ділить прямий кута у відношенні 2:3.Знайдіть гострі кути трикутника

Answer 1

Прямой угол 90° делится на части 2x и 3x
2x + 3x = 90°
5x = 90°
x = 18°
меньшая часть
2x = 2*18 = 36°
большая часть
3x = 3*18 = 54°
И острые углы прямоугольного треугольника равны этим углам, поскольку медиана делит исходный треугольник на два равнобедренных.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, давайте позначимо гострі кути прямокутного трикутника як A, B і C, де C є прямим кутом. Нехай медіана, яка проведена до гіпотенузи, перетинає гіпотенузу в точці M, при цьому AM має довжину 2, а МС - довжину 3 (згідно з умовою задачі).

Також, давайте позначимо довжину гіпотенузи як c і катети як a і b. Оскільки медіана поділяє гіпотенузу на дві рівні частини, ми можемо записати наступну рівність:

MC = MB

Знаючи відношення довжин 2:3, можемо записати наступну рівність:

MC = (3/5) * c MB = (2/5) * c

Тепер, застосуємо теорему Піфагора для кожного з подільних трикутників:

Для трикутника AMC: a^2 + (3/5 * c)^2 = 2^2

Для трикутника BMC: b^2 + (2/5 * c)^2 = 3^2

Спростимо:

a^2 + 9/25 * c^2 = 4 b^2 + 4/25 * c^2 = 9

Тепер додамо обидві рівності:

a^2 + b^2 + 9/25 * c^2 + 4/25 * c^2 = 4 + 9

a^2 + b^2 + 13/25 * c^2 = 13

Так як трикутник є прямокутним, використовуючи теорему Піфагора, ми також можемо записати:

a^2 + b^2 = c^2

Тепер підставимо це у попередній рівності:

c^2 + 13/25 * c^2 = 13

Знаходження невідомого:

(1 + 13/25) * c^2 = 13

(38/25) * c^2 = 13

Тепер вирішимо для c^2:

c^2 = 13 * 25 / 38

c^2 ≈ 8.5526

c ≈ √8.5526

c ≈ 2.92

Отже, довжина гіпотенузи c приблизно дорівнює 2.92.

Тепер, ми можемо знайти гострі кути трикутника за допомогою тригонометричних співвідношень:

sin(A) = a / c sin(B) = b / c

Підставимо відповідні значення:

sin(A) = a / 2.92 sin(B) = b / 2.92

Тут a і b - це довжини катетів, які залишилося знайти. Вони пов'язані з МС і МВ, а МС = (3/5) * c, МВ = (2/5) * c.

MC = (3/5) * 2.92 ≈ 1.752 MB = (2/5) * 2.92 ≈ 1.168

Тепер, використовуючи теорему Піфагора, ми знаходимо:

a^2 + 1.752^2 = 2^2 a^2 + 3.07 = 4 a^2 ≈ 4 - 3.07 a^2 ≈ 0.93 a ≈ √0.93 a ≈ 0.965

b^2 + 1.168^2 = 3^2 b^2 + 1.36624 = 9 b^2 ≈ 9 - 1.36624 b^2 ≈ 7.63376 b ≈ √7.63376 b ≈ 2.76

Тепер ми можемо знайти sin(A) і sin(B):

sin(A) = 0.965 / 2.92 ≈ 0.33 sin(B) = 2.76 / 2.92 ≈ 0.95

Тепер знаходимо кут А і кут В, використовуючи арксинус (sin^(-1)):

A ≈ sin^(-1)(0.33) ≈ 19.47° B ≈ sin^(-1)(0.95) ≈ 68.76°

Таким чином, гострі кути трикутника приблизно дорівнюють 19.47° та 68.76°, а прямий кут дорівнює 90°.