Question

!!!!15б!!!! На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки D, F и E соответственно так, что BD = BF = DE = EF. Докажите, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.

Answer 1

 Треугольники DBF, DEF равны по трем сторонам , так как  BD=BF=DE=EF , откуда EDF=BDF откуда  F  лежит на биссектрисе DF.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством биссектрисы угла.

Дано: треугольник ABC, на котором отмечены точки D, F и E на сторонах AB, BC и AC соответственно, так что BD = BF = DE = EF.

Нам нужно доказать, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.

Для начала, докажем, что угол DBF равен углу FDE. Заметим, что треугольник BDF равнобедренный, так как BD = BF. То же самое относится и к треугольнику DEF, где DE = EF. Из равнобедренности следует, что углы при основании этих треугольников равны: угол DBF = углу DFB и угол FDE = углу DEF.

Теперь посмотрим на треугольник DBE. Мы знаем, что BD = DE (по условию) и угол DBF = углу FDE. Следовательно, треугольники DBF и DEF подобны по стороне-угол-стороне (SAS). Из этого следует, что угол DBE равен углу DFE.

Теперь у нас есть два угла треугольника BDE: угол DBE и угол DFE, которые равны. Значит, точка F лежит на биссектрисе угла BDE.

Таким образом, мы доказали, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.