Question

Один из углов прямоугольного треугольника 30*, а сумма гипотенузы и меньшего катета 15 см. Найдите гипотенузу.

Answer 1

Дано: ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=30°, АВ+ВС=15 см.
Найти АВ.

ВС=1\2 АВ как катет, лежащий против угла 30°.
Составим уравнение:
АВ+ 1\2 АВ = 15 см
1,5 АВ=15
АВ=10 см

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть гипотенуза равна $c$, а меньший катет равен $a$.

Тогда у нас есть два уравнения:

1. Угол между гипотенузой и меньшим катетом: $\angle A = 30^\circ$.
2. Сумма гипотенузы и меньшего катета: $c + a = 15$ см.

Теперь воспользуемся тригонометрией, чтобы выразить гипотенузу через меньший катет.

В прямоугольном треугольнике:

$\cos \angle A = \frac{a}{c}$

Подставляем значение угла $\angle A = 30^\circ$ (в радианах $\frac{\pi}{6}$):

$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{a}{c}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c}$

Теперь можем выразить $a$ через $c$:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Теперь подставим это выражение в уравнение с суммой гипотенузы и меньшего катета:

$c + \frac{\sqrt{3}}{2}c = 15$

Для удобства, объединим коэффициенты:

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}c = 15$

Теперь найдем значение $c$:

$c = \frac{15}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на $2$ (эквивалентное преобразование):

$c = \frac{15 \times 2}{3 + \sqrt{3}}$

$c = \frac{30}{3 + \sqrt{3}}$

Теперь, чтобы упростить ответ, домножим числитель и знаменатель на сопряженное значение:

$c = \frac{30}{3 + \sqrt{3}} \times \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

$c = \frac{30(3 - \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2}$

$c = \frac{30(3 - \sqrt{3})}{3}$

$c = 30 - 10\sqrt{3}$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна $30 - 10\sqrt{3}$ см.