Question

помогите решить: Стороны треугольника равны 13см, 14 см, и 15см. Точка равноудаленная от всех сторон треугольника находится на расстоянии 3см от плоскости треугольника . Найдите расстояния от данной точки до сторон треугольника.

Answer 1

Полупериметр
p = (13+14+15)/2 = 21 см
Площадь по формуле Герона
S = √(21*(21-13)*(21-14)*(21-15)) = √(21*8*7*6) = 7√(3*8*6) = 7*3*4 = 84 см²
Равноудалённая от сторон треугольника точка в плоскости треугольника - это центр вписанной окружности.
Её радиус
S = rp
84 = r*21
r = 4 см
Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон треугольника - это перпендикуляр к плоскости треугольника, проходящий через центр вписанной окружности.
Если высота точки над плоскостью h = 3 см, то расстояние от точки до сторон f (апофема пирамиды) можно найти по теореме Пифагора
h² + r² = f²
3² + 4² = f²
f² = 25
f = 5 см

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрию и свойства треугольников. Для удобства обозначим стороны треугольника как a = 13 см, b = 14 см и c = 15 см.

Пусть точка равноудаленная от всех сторон треугольника находится на расстоянии d = 3 см от плоскости треугольника. Эта точка является высотой треугольника (высотой из вершины на противолежащую сторону), а также ортогональной проекцией вершины треугольника на противоположную сторону.

Используем формулу для площади треугольника через его стороны:

Площадь (S) = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c) / 2.

Также площадь (S) = (основание * высота) / 2.

Теперь мы можем записать выражение для расстояния h от вершины треугольника до равноудаленной точки:

S = (c * h) / 2.

Тогда:

h = (2 * S) / c.

Поскольку S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) и p = (a + b + c) / 2, получим:

S = √(((a + b + c) / 2) * (((a + b + c) / 2) - a) * (((a + b + c) / 2) - b) * (((a + b + c) / 2) - c)).

Теперь можем вычислить S и h:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21,

S = √(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) ≈ √(21 * 8 * 7 * 6) ≈ √7056 ≈ 84 см²,

h = (2 * 84) / 15 ≈ 11,2 см.

Таким образом, расстояние от данной точки до каждой из сторон треугольника составляет приблизительно 11,2 см.