Question

Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса R. Другая окоужность касается катетов и первой окружности. Найти ее радиус

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Пусть у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC - катеты, BC - гипотенуза. Пусть также дана окружность радиуса R, в которую вписан этот треугольник, и ещё одна окружность, касающаяся катетов AB и AC, а также первой окружности.

Посмотрим на схему:

cssCopy code
 A
/ \

/
R / \ R /
B-------- C

Обозначим радиус второй окружности через r.

Из свойств касательных к окружности, точка касания второй окружности с AB (пусть это будет точка D) и точка касания с AC (пусть это будет точка E) делят сторону треугольника на равные отрезки. Таким образом, AD = AE = r.

Также из свойств касательных к окружности, точки D и E делят сторону треугольника на отрезки, равные радиусу первой окружности R. Таким образом, BD = CE = R.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. У него гипотенуза AB = 2R (так как треугольник ABC равнобедренный, и гипотенуза BC равна 2R). Катеты равны BD = R и AD = r. Из теоремы Пифагора для треугольника ABD:

AB^2 = BD^2 + AD^2 (2R)^2 = R^2 + r^2 4R^2 = R^2 + r^2 3R^2 = r^2

Отсюда получаем, что радиус второй окружности r равен:

r = √(3R^2) = R√3

Таким образом, радиус второй окружности равен R√3.