Question

Дан треугольник ABC. AM и BK - биссектрисы, AM=BK, AB=6 см, BC=9 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Answer 1

Смотри решение и рисунок на фото

Answer 2

1) Во-первых, треугольник в котором две биссектрисы равны является равнобедренным. Отсюда сразу напишем ответ: p=9+9+6 = 24 см;
Теперь докажем утверждение 1)
Возьмем угол и проведем в нем биссектрису данной длины. Пусть длина равна l. Теперь будем выбирать точки на луче (назовем его луч 1) данного угла и через конец биссектрисы проводить множество прямых. Они будут пересекаться со вторым лучом угла и будут образовывать угол с ним. Рассмотрим множество получившихся углов. Из каждой вершины угла проведем ее биссектрису до пересечения с лучом 1. Исключим из рассмотрения все биссектрисы длины которых не равны l; Итак, перед нами множество биссектрис с длинами l; Докажем, что любые две могут образовать треугольник. Рассмотрим две крайние биссектрисы. Расстояние между ними   $\sqrt{l^{2}-x^{2}}$, где x - расстояние AB (см. рис.); Это первая сторона треугольника. Две другие равны l; Очевидно, что  $\sqrt{l^{2}-x^{2}}+l\ \textgreater \ l \\ 2l\ \textgreater \ \sqrt{l^{2}-x^{2}}$; Поэтому с любые две биссектрисы образуют треугольник. С другой стороны, в равнобедренном тупоугольном треугольнике не могут быть равны основание и сторона. Значит множество рассматриваемых биссектрис может содержать лишь одну биссектрису длины l; Другими словами, существует лишь один треугольник с двумя равными биссектрисами данной длины и с данным единственным углом. Но для таких параметров легко подобрать равнобедренный треугольник, в котором очевидно равны биссектрисы, выходящие из равных углов. Значит найденный нами единственный треугольник - равнобедренный, что и доказывает утверждение (1);
Доказать можно было проще: формула биссектрисы -  $l= \frac{2 \sqrt{abp(p-c)} }{a+b}$; Другой биссектрисы:  $l'= \frac{ 2\sqrt{cbp(p-c)} }{b+c}$; Поскольку l=l', то  $ab+ac=ac+bc \Leftrightarrow a=c$

Answer 3

Для решения задачи, давайте обозначим точки:

A - вершина треугольника ABC, B - вершина треугольника ABC, C - вершина треугольника ABC, M - точка пересечения биссектрисы AM и стороны BC, K - точка пересечения биссектрисы BK и стороны AC.

Также обозначим AB = 6 см, BC = 9 см.

Дано: AM = BK

Мы знаем, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам смежных сторон. Так как AM и BK - биссектрисы, можно записать:

BM/MC = AB/AC AK/KC = AB/BC

Также, у нас есть информация, что AM = BK. Поэтому мы можем записать:

BM/MC = AK/KC

Теперь представим себе, что BM и AK - это одна и та же величина и обозначим её х. Тогда MC и KC также равны х.

Теперь составим уравнение, исходя из данной пропорции:

BM/MC = AB/AC

x / x = 6 / AC

AC = 6

Теперь мы знаем, что AC = 6 см. Также, у нас есть BC = 9 см.

Теперь можно найти длину стороны AB, используя теорему Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2

6^2 + 6^2 = AB^2

36 + 36 = AB^2

AB^2 = 72

AB = √72 ≈ 8.49 см

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника ABC, можем найти его периметр:

Периметр ABC = AB + AC + BC Периметр ABC = 8.49 + 6 + 9 Периметр ABC ≈ 23.49 см

Ответ: периметр треугольника ABC составляет примерно 23.49 см.