Question

Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC точка D на стороне AC при этом BK/KC=2/1 и AD/DC=1/3. Отрезки AK И BD пересекаются в точке O. Чему равно отношение BO/OD и AO/OK

Answer 1

Использовали теорему:

Если у двух треугольников общая высота, то их площади относятся как основания

P.S. Если плохо видно :

S abd / S bcd = 1 / 3

ОТВЕТ: 8/1 ; 1/2

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой Менелая и теоремой Паппа о трёх точках.

Теорема Менелая: Если точки K, D и O лежат на одной прямой (отрезок AK пересекает BD в точке O), то из теоремы Менелая следует, что:

AK/KB * BO/OD * DC/CA = 1

Теорема Паппа о трёх точках: Если три прямые, идущие через вершины треугольника, пересекают противоположные стороны в трёх точках, то эти три точки лежат на одной прямой.

Теперь, зная отношения BK/KC и AD/DC, найдем отношение BO/OD:

BK/KC = 2/1 AD/DC = 1/3

Теперь, рассмотрим следующий треугольник ABO:

AK/KB * BO/OD * DC/CA = 1

Подставим известные значения:

2/1 * BO/OD * 1/3 = 1

Упростим уравнение:

BO/OD = 3/2

Теперь найдем отношение AO/OK:

Для этого воспользуемся аналогичным уравнением для треугольника ABO:

AK/KB * BO/OD * DC/CA = 1

Подставим известные значения:

2/1 * 3/2 * 1/3 = 1

Упростим уравнение:

AO/OK = 1

Итак, полученные значения:

BO/OD = 3/2 AO/OK = 1

Отношение BO/OD равно 3/2, а отношение AO/OK равно 1.