Question

Плиз) Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. С вершины прямого угла опущен перпендикуляр на плоскость β, проходящей через гипотенузу и образует угол 30 градусов с плоскостью треугольника. Найдите длину перпендикуляра.

Answer 1

ΔАВС , ∠С=90° , С=24 см , ВС=7 см .

Найдём высоту СК, опущенную из прямого угла на гипотенузу А.

Она равна h=ab/c , где а и b - катеты, с - гипотенуза.

с=АВ=√(АС²+ВС²)=√(24²+7²)=25

h=СК=(АС·ВС)/АВ=(24·7)/25=6,72

Проведём СН⊥пл.β , соединим точку К с точкой Н. Получим ΔСКН.

∠СНК=90°, т.к. СН⊥ пл.β, а значит любой прямой, лежащей в этой пллоскости, в том числе и прямой КН.

∠СКН=30°, т.к. угол между плоскостями β и АВС равен углу между перпендикулярами в этих плоскостях, проведёнными из точки К, лежащей на линии пересечения АВ этих плоскостей: СК⊥АВ как высота ΔАВС, проведённая из т.С, КН⊥АВ по теореме о трёх перпендикулярах (СК - наклонная, СН⊥КН, СН - проекция наклонной).

Катет СН лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: СН=6,72:2=3,36 .

Ответ: длина перпендикуляра СН=3,36 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрией и тригонометрией. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a = 7 \, \text{см}$ и $b = 24 \, \text{см}$, гипотенузу как $c$, а длину перпендикуляра как $h$.

Сначала найдем длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см}$

Теперь, обратимся к плоскости $\beta$. Мы знаем, что перпендикуляр опущенный из вершины прямого угла образует угол 30 градусов с этой плоскостью.

Теперь, давайте рассмотрим сечение этой плоскости $\beta$ с плоскостью прямоугольного треугольника. Это сечение будет представлять собой прямоугольный треугольник, в котором один угол 30 градусов (из условия), а противолежащий этому углу катет будет равен длине перпендикуляра $h$.

Теперь воспользуемся тригонометрической функцией синуса:

$\sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\frac{1}{2} = \frac{h}{25}$

Теперь найдем длину перпендикуляра $h$:

$h = \frac{25}{2} = 12.5 \, \text{см}$

Таким образом, длина перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на плоскость $\beta$, составляет $12.5 \, \text{см}$.