Question

О- точка пересечения диагоналей четырехугольника . о1,о2 ,о3 и о4 - центры описанных окружностей треугольников аво, вос, сод и аод соответственно. Докажите, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом. Найдите площадь четырехугольника о1о2о3о4, если площадь четырехугольника авсд равна 6 и его диагонали образуют угол 30 градусов

Answer 1

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, в данном случае - к отрезкам диагоналей. Перпендикуляры, проведенные к одной диагонали, параллельны - O₁O₂||O₃O₄, O₁O₄||O₂O₃. Противоположные стороны параллельны, O₁O₂O₃O₄ является параллелограммом.

S(ABCD)= AC*BD*sin30 /2 <=> AC*BD = 6*4 =24

E, F, G, H - середины AO, BO, CO, DO

В четырехугольнике O₁FOE противоположные углы прямые, следовательно сумма другой пары противоположных углов так же равна 180.

∠FO₁E +∠FOE =180

∠FOG +∠FOE =180

∠FO₁E=∠FOG =30

O₂K - высота на O₁O₄. Катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.

O₂K= O₁O₂/2

O₂K= GE =AC/2 => O₁O₂=AC

FH=BD/2

S(O₁O₂O₃O₄)= O₁O₂*FH = AC*BD/2 =24/2 =12

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом, докажем, что его противоположные стороны параллельны.

Обозначим углы треугольника аво через α, углы треугольника вос через β, углы треугольника сод через γ и углы треугольника аод через δ.

Углы α, β, γ и δ соответственно равны половине дуг, опирающихся на те же вершины треугольников аво, вос, сод и аод.

Поскольку диагонали четырехугольника авсд образуют угол 30 градусов, углы α и γ равны по 15 градусов, так как это половина угла 30 градусов.

Теперь рассмотрим описанные окружности треугольников аво, вос, сод и аод. Центры этих окружностей соответственно обозначим через о1, о2, о3 и о4.

Очевидно, что центр описанной окружности треугольника аво (то есть о1) является серединой диагонали ав. Аналогично, о2, о3 и о4 являются серединами диагоналей вос, сод и аод соответственно.

Поскольку диагонали ав и сод параллельны (так как треугольник авсд - параллелограмм), и их середины (то есть центры описанных окружностей треугольников аво и сод) соединены прямой, то они также параллельны противоположным сторонам четырехугольника о1о2о3о4 (см. свойство серединного перпендикуляра).

Точно так же можно доказать, что диагонали вос и аод параллельны и соответственно противоположные стороны четырехугольника о1о2о3о4.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом.

Теперь найдем площадь этого параллелограмма. Площадь любого параллелограмма можно вычислить, используя длины его сторон и угол между ними.

Обозначим длины сторон четырехугольника о1о2о3о4 через a, b, c и d (в порядке обхода четырехугольника). Мы знаем, что его диагонали образуют угол 30 градусов.

Площадь четырехугольника можно найти по формуле:

Площадь = |полупериметр * радиус вписанной окружности|

где полупериметр равен (a + b + c + d) / 2.

Так как у нас есть информация о площади четырехугольника авсд, можно записать:

Площадь авсд = (a + b + c + d) * r / 2

где r - радиус вписанной окружности.

Для дальнейшего решения нам потребуется знание радиуса вписанной окружности данного четырехугольника. К сожалению, данной информации у нас нет, и без нее нельзя найти точное значение площади четырехугольника о1о2о3о4.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом, но для нахождения его площади нам не хватает информации о радиусе вписанной окружности.