Question

В треугольнике ABC O - точка пересечения отрезков AK и DB (K лежит на BC, D лежит на AC ). Найти отношение AD:DC, если AO:OK=2:3 , CK:BK=3:4. Нужно срочно! Кидаю 15 баллов.

Answer 1

Задача устная , баллы мне не нужны ( не кидайте)

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая и свойствами подобных треугольников. Для начала, обозначим отношение AD:DC за x.

1. Теорема Менелая: Если прямые, проведенные из вершин треугольника к пересечению противоположных сторон, делят стороны на отрезки с данными пропорциями, то точка пересечения этих прямых лежит на третьей стороне в заданной пропорции.

Из теоремы Менелая для треугольника ABC с прямой AO (где O - точка пересечения отрезков AK и DB) получаем:

(AK / KB) * (BO / OC) * (CD / DA) = 1

2. Подобные треугольники: По условию задачи у нас есть отношения AO:OK=2:3 и CK:BK=3:4. Мы знаем, что прямая AO делит сторону BC в пропорции 2:3, а прямая CO делит сторону AB в пропорции 3:4.

3. Известные отношения: AO:OK=2:3 CK:BK=3:4

Теперь используем известные отношения, чтобы найти другие пропорции:

AO / OK = 2 / 3 CO / OK = (CO / CK) * (CK / BK) * (BK / OK) = (3 / 4) * (3 / 4) * (3 / 7) = 27 / 112

Теперь можем выразить BO и OC через OK:

BO = AO - AB = 3 * OK - 5 * OK = -2 * OK OC = CO - CB = 27 * OK - 35 * OK = -8 * OK

Теперь используем теорему Менелая:

(AK / KB) * (BO / OC) * (CD / DA) = 1

(3 / 4) * (-2 * OK / (-8 * OK)) * (x) = 1

Теперь решим уравнение для x:

3 * (1/4) * x = 1

x = 4/3

Таким образом, отношение AD:DC равно 4:3.