Question

Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки 8 і 12см. Знайти стороны трикутника.

Answer 1

Розв'язок задачі у вкладенні

Answer 2

Для розв'язання задачі нам потрібно скористатися властивістю про те, що точка дотику вписаного кола з гіпотенузою трикутника ділить її на дві довжини, які мають відношення, рівне відношенню півпериметра трикутника до півпериметра трикутника з радіусом вписаного кола.

Для початку, позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b та c, де c - гіпотенуза.

Означення: r - радіус вписаного кола трикутника. s - півпериметр трикутника, s = (a + b + c) / 2.

За властивістю із вписаним колом, маємо такі співвідношення:

c = 2r, (1) - тому що точка дотику ділить гіпотенузу на дві рівні довжини.

c = a + b - (2) - з теореми Піфагора для прямокутного трикутника.

r = s - c / 2 - (3) - з властивості про співвідношення півпериметра трикутника та радіуса вписаного кола.

Знайдемо відповідь:

1. Підставимо (1) в (2): a + b = 2r (4).

2. Підставимо (3) в (1): r = s - c / 2 => c = 2s - 2r (5).

3. Підставимо (5) в (4): a + b = 2r => a + b = 2(2s - 2r) => a + b = 4s - 4r (6).

4. Підставимо (1) в (6): a + b = 4s - 4r => a + b = 4s - 4(c / 2) => a + b = 4s - 2c.

5. Підставимо (2) в (6): c = a + b => b = c - a.

6. Підставимо (5) в (6): a + (c - a) = 4s - 2c => c = 4s - 2c => 3c = 4s => c = 4s / 3.

Таким чином, ми знайшли, що гіпотенуза c дорівнює 4/3 від півпериметра s трикутника. Знаючи довжину гіпотенузи, можемо знайти значення сторін a та b:

a + b = 4s - 2c => a + b = 4s - 2(4s / 3) => a + b = 4s - 8s / 3 => a + b = (12s - 8s) / 3 => a + b = 4s / 3.

Ми знаємо, що a + b = c, тому:

c = 4s / 3.

Тепер можемо знайти значення сторін a та b:

a + b = c => a + b = 4s / 3 => b = 4s / 3 - a.

Підставимо b у вираз (2):

c = a + b => c = a + (4s / 3 - a) => c = 4s / 3 - 2a => a = 4s / 3 - c / 2.

Тепер маємо вираз для a через півпериметр трикутника s та довжину гіпотенузи c.

Вираз для b:

b = 4s / 3 - a => b = 4s / 3 - (4s / 3 - c / 2) => b = c / 2.

Таким чином, сторони прямокутного трикутника a та b дорівнюють:

a = 4s / 3 - c / 2, b = c / 2.

Для того, щоб знайти числові значення сторін, потрібно мати додаткову інформацію про прямокутний трикутник, наприклад, що відомі півпериметр s та довжина гіпотенузи c, або інші відомі властивості трикутника, які дозволяють знайти значення s та c. Без такої інформації ми не можемо знайти конкретні числові значення сторін a та b.