Question

висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута дорівнює h. Відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси, проведеної з вершини меншого гострого кута з малим катетом дорівнює d. Знайти довжину меншого катета і обчислити її довжину, якщо h=7см, а d=5см.

Answer 1

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.

Биссектриса АЕ пересекает ВС в точке Е, ВЕ = 5, высота из В равна 7.

Примем ВС = х, АВ = у.

Тогда АС = √(х² + у²).

Свойство высоты из прямого угла:

7 = (АВ*ВС)/АС = ху/√(х² + у²). Отсюда ху = 7√(х² + у²).

Свойство биссектрисы:

5/у = (х - 5)/√(х² + у²).

Из этой пропорции получаем ху - 5у = 5√(х² + у²).

В этом уравнении заменим ху из первого свойства: ху = 7√(х² + у²).

7√(х² + у²) - 5у = 5√(х² + у²).

Отсюда получаем 2√(х² + у²) = 5у.

Возведём в квадрат:

4х² + 4у² = 25у² или 4х² = 21у², у² = 4х²/21, у = 2х/√21.

Возведём первое свойство в квадрат:

(х² * у²)/(х² + у²) = 49 и подставим у² = 4х²/21.

(х²*4х²)/(21*(х² + (4х²/21))) = 49.

4х^4/25x² = 49 или 4x² = 25*49.

Извлекаем корень: 2х = 5*7 = 35, отсюда х = 35/2 = 17,5.

Меньший катет - это АВ = у = 2х/√21 = 35/√21 = 5√21/3.

Answer 2

Для вирішення задачі, спростимо її геометрично. Давайте позначимо змінними:

• $a$ - довжина меншого катета прямокутного трикутника
• $b$ - довжина більшого катета прямокутного трикутника

Згідно з умовою, висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює $h = 7$ см. Відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси, проведеної з вершини меншого гострого кута, з малим катетом дорівнює $d = 5$ см.

Знаходження відповідних відношень:

1. Менший прямокутний трикутник із висотою $h$ та катетами $a$ і $b$, є подібним до більшого прямокутного трикутника, в якому висота з малого кута дорівнює $d$.

Враховуючи подібність трикутників, можемо записати такі відношення:

$\frac{h}{d} = \frac{a}{b}$

2. З теореми Піфагора в більшому прямокутному трикутнику:

$b^2 = a^2 + h^2$

Розв'язання:

1. Підставимо дані відомі значення:

$\frac{7}{5} = \frac{a}{b}$

2. Знайдемо $b^2$:

$b^2 = a^2 + 7^2 = a^2 + 49$

3. Тепер підставимо вираз для $b^2$ в рівняння 1:

$\frac{7}{5} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 49}}$

4. Розв'яжемо це рівняння для $a$:

Спочатку позбавимось від знаменника, помноживши обидві сторони на $\sqrt{a^2 + 49}$:

$7\sqrt{a^2 + 49} = 5a$

Тепер піднесемо обидві сторони до квадрату, щоб позбутись кореня:

$49(a^2 + 49) = 25a^2$

Розкриємо дужки:

$49a^2 + 49^2 = 25a^2$

Перенесемо все до одного боку рівняння:

$49a^2 - 25a^2 = -49^2$

Скоротимо:

$24a^2 = -49^2$

Тепер знайдемо $a^2$:

$a^2 = \frac{-49^2}{24}$

5. Знаходимо $a$:

$a = \sqrt{\frac{-49^2}{24}} \approx -10.8$ (ігноруємо від'ємний результат, оскільки довжина не може бути від'ємною)

Отже, довжина меншого катета $a$ приблизно дорівнює 10.8 см.