Question

У трикутнику АВС на середній лінії DE, паралельній АВ, як на діаметрі побудовано коло, що перетинає сторони АС і ВС в точках М і N відповідно. Знайти MN якщо AB=c; BC=a; AC=b. (Будь ласка не надсилайте розвязків з тригонометричним розбором, потрібен розвязок без тригонометрії) 8 клас

Answer 1

надеюсь, что теорему косинусов вы знаете

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, ми можемо скористатися властивостями середніх ліній трикутника.

Позначимо середній лінії трикутника АВС як DE і FG. Давайте спробуємо знайти відношення сторін трикутника АВС і трикутника DEF:

1. Оскільки DE - середня лінія трикутника АВС, то DE = 0.5 * AB.
2. Також DE || AB (паралельність), тому трикутники ADE і ABC подібні, тобто мають співвідношення сторін: AD / AB = AE / AC.

Тепер ми можемо записати вираз для сторін трикутника DEF через сторони трикутника ABC:

DF = DE = 0.5 * AB = 0.5 * c EF = AE = (AD / AB) * AC = (b / c) * c = b

Тепер давайте звернемо увагу на коло, побудоване на діаметрі DE і перетинає сторони АС і ВС в точках М і N відповідно. Оскільки EF || AC (паралельність середніх ліній), ми можемо скористатися властивістю, що головні хорди паралельних прямих утворюють подібні трикутники.

Отже, трикутники MEF і MAC подібні. Маємо наступне співвідношення:

ME / MA = EF / AC

Підставимо вирази для EF і AC:

ME / MA = b / b = 1

З цього виразу можемо зрозуміти, що ME = MA.

Аналогічно, застосуємо трикутники NDF і NBC:

ND / NB = DF / BC

Підставимо вирази для DF і BC:

ND / NB = (0.5 * c) / a

Знаючи, що ND = NB (з попереднього розгляду), отримуємо:

1 = (0.5 * c) / a

Тепер можемо знайти ME і MN:

ME = MA = 1/2 * AC = 1/2 * b MN = 1/2 * ND = 1/2 * (0.5 * c) = 0.25 * c

Отже, результати: ME = 1/2 * b MN = 0.25 * c

Зауважте, що весь розв'язок базується на використанні властивостей подібних трикутників, а не на тригонометрії.