Question

докажите что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон в выпуклом четырехугольнике равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны

Answer 1

звестно, что в выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины смежных сторон,  образуют параллелограмм.

В этом параллелограмме отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, являются диагоналями параллелограмма.

По условию эти отрезки (диагонали параллелограмма) перпендикулярны. Следовательно, этот параллелограмм является ромбом.

У ромба все стороны равны. Значит, все отрезки, соединяющие середины смежных сторон, равны.

Отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон, параллелелен диагонали и является средней линией треугольника, образованного этими сторонами и диагональю.

Поскольку средние линии всех треугольников равны, то и параллельные им диагонали равны, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, где AB || CD и BC || AD, а также пусть M, N, P и Q - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Мы знаем, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны друг другу. То есть:

1. MN = PQ (поскольку M и N - середины противоположных сторон AB и CD).
2. MP = NQ (поскольку M и P - середины противоположных сторон AB и AD).

Для доказательства перпендикулярности диагоналей, нам нужно показать, что углы между диагоналями равны 90 градусам.

Рассмотрим треугольник MPN. Мы знаем, что MN = PQ, и MP = NQ, а также середины отрезков MN и PQ совпадают (поскольку это середины сторон BC и AD). Это означает, что у треугольника MPN все три стороны равны треугольнику NPQ, и, следовательно, эти треугольники равны (по стороне-уголу-стороне).

Теперь рассмотрим углы. Поскольку NPQ - треугольник равен MPN, то углы между соответствующими сторонами в этих треугольниках равны. А значит, угол между MQ и NP равен углу между NP и MP.

Теперь обратим внимание на четырехугольник MNQP. У него противоположные стороны равны (по условию), а теперь мы установили, что углы между диагоналями равны. Это означает, что MNQP - это параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, он является ромбом. Но так как углы ромба равны 90 градусам, диагонали MN и PQ пересекаются в прямом углу. Следовательно, диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны.