Question

вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги длины которых относятся как 5:7:24 Найдите радиус окружности если большая из сторон равна 5√3

Answer 1

Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол (свойство). Дуга окружности равна 360°, а дуги, ее составляющие, равны 5х, 7х и 24х (дано). Значит их сумма 36х=360° и  х = 10°.

Тогда большая дуга равна 10*24 = 240°, а вписанный угол, опирающийся на нее, равен 120° (свойство).

По теореме синусов: 5√3/Sin120 = 2R.  Sin120= Sin(180-60) =Sin60.  Sin60 = √3/2.  Тогда 2R= 5√3/(√3/2) = 10  =>  R =5.

Ответ: R=5 ед.

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем использовать закон синусов, который гласит:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R,$

где $a, b, c$ - длины сторон треугольника, $A, B, C$ - соответствующие углы, $R$ - радиус окружности.

Так как у нас есть информация о длине одной из сторон и отношении длин дуг, давайте обозначим длины дуг как $5x, 7x$ и $24x$.

Для начала, давайте найдем длину большей стороны $a$ треугольника:

$a = 5\sqrt{3}.$

Теперь мы можем записать отношения длин дуг к радиусу:

$\frac{5x}{R} : \frac{7x}{R} : \frac{24x}{R} = 5 : 7 : 24.$

Для удобства упростим это выражение, умножив каждое отношение на $R$:

$5x : 7x : 24x = 5R : 7R : 24R.$

Теперь, чтобы найти $R$, сравним коэффициенты:

$5x = 5R,$ $7x = 7R,$ $24x = 24R.$

Отсюда мы можем сделать вывод, что $x = R$.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, подставим $x$ в любое из отношений, например, в первое:

$5x = 5R \implies R = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}.$

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг данного треугольника, равен $\sqrt{3}$.