Question

Найти расстояние от точки M (3; -4; 6) к плоскости , заданной уравнением 3x - 2y + 4z - 9 = 0

Answer 1

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/ √(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d = |3·3 + (-2)·(-4) + 4·6 + (-9)|/√(3² + (-2)² + 4²) = |9 + 8 + 24 - 9| √9 + 4 + 16  =

=   32 /√29  =  32√29 /29  ≈ 5.94225.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки M(3, -4, 6) до плоскости, заданной уравнением 3x - 2y + 4z - 9 = 0, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Пусть точка M0(x0, y0, z0) - произвольная точка на плоскости, а нормаль плоскости имеет координаты (a, b, c). Тогда расстояние d от точки M(x, y, z) до плоскости можно найти по следующей формуле:

d = |(ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0) / √(a^2 + b^2 + c^2)|

Где: a, b, c - коэффициенты уравнения плоскости (для уравнения 3x - 2y + 4z - 9 = 0 они равны 3, -2 и 4 соответственно). x, y, z - координаты точки M (3, -4, 6). x0, y0, z0 - координаты произвольной точки на плоскости (возьмем её позже).

1. Найдем нормаль к плоскости. Уравнение плоскости имеет вид 3x - 2y + 4z - 9 = 0. Коэффициенты при переменных x, y и z дают нам нормаль к плоскости, так что a = 3, b = -2 и c = 4.

2. Теперь возьмем произвольную точку M0 на плоскости. Для удобства вычислений, положим z = 0 и найдем соответствующие значения x0 и y0. Подставим z = 0 в уравнение плоскости:

3x - 2y + 4(0) - 9 = 0

3x - 2y - 9 = 0

Теперь предположим, что x = 1, тогда:

3(1) - 2y - 9 = 0

3 - 2y - 9 = 0

-2y - 6 = 0

-2y = 6

y = -3

Таким образом, произвольной точкой M0 на плоскости будет M0(1, -3, 0).

3. Теперь мы можем найти расстояние d от точки M(3, -4, 6) до плоскости. Подставим все значения в формулу:

d = |(3(3) - 2(-4) + 4(6) - 3(1) - 2(-3) - 4(0)) / √(3^2 + (-2)^2 + 4^2)|

d = |(9 + 8 + 24 - 3 + 6) / √(9 + 4 + 16)|

d = |(44 / √29)|

Таким образом, расстояние от точки M(3, -4, 6) до плоскости 3x - 2y + 4z - 9 = 0 равно |(44 / √29)|. Это можно оставить в таком виде или приблизить до нужного числа знаков после запятой.