Question

Дано: треугольник ABC, описанная около треугольника окружность с центром O, AA1 и CC1 - высоты, AA1 и CC1 пересекают окружность в A2 и C2 соответственно, АС = a, A2C2 = b. Найти: R - радиус описанной окружности

Answer 1

Решение для остроугольного треугольника :

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой о вписанных углах.

Теорема о вписанных углах утверждает, что для любых двух углов, образованных на дугах одной и той же дуги окружности, эти углы равны.

Посмотрим на треугольник ABC. Из теоремы о прямых углах следует, что углы A1AB и AC1C равны, так как AA1 и CC1 - высоты треугольника ABC.

Теперь рассмотрим дугу AC на описанной окружности, на которой лежат точки A, A1 и C2. Угол A1A2C2 является вписанным углом, а значит, он равен углу AC1C.

Таким образом, у нас есть два треугольника: A1A2C2 и AC1C, у которых две стороны равны: A1A2 = AC1 и A2C2 = AC. Такие треугольники называются равногранными.

Теперь мы можем записать равенства для отношения сторон и на основе этого найти радиус R описанной окружности:

AC1 / A2C2 = AC1 / AC = A2C2 / AC

Теперь подставим известные значения:

a / b = b / R

Теперь найдем радиус описанной окружности R:

R = b^2 / a

Таким образом, радиус описанной окружности равен квадрату длины стороны A2C2, деленному на длину стороны AC.