Question

в окружность вписан треугольник abc, a = 105, c = 45 и AC = 4. Чему равны радиус окружности и сторона AB?

Answer 1

По теореме синусов выходит то что
$\frac{4}{ \sin(30) } = \frac{x}{ \sin(45) } = 2r \\ \sin(30) = \frac{1}{2} \\ \sin(45) = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ r = 4 \\ x = 4 \sqrt{2}$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами треугольников, вписанных в окружность.

Свойство 1: Вписанный угол равен половине дуги, охватываемой этим углом.

Свойство 2: Продукт отрезков, образованных хордами, равен произведению отрезков, образованных теми же хордами вне окружности.

Пусть O - центр окружности, AB - сторона треугольника, BC - еще одна сторона треугольника.

По условию, с = 45 и AC = 4. Пусть хорда BC = x, тогда AB = x, так как треугольник ABC равнобедренный.

Свойство 1: Угол ACB равен половине дуги AB, поэтому мера угла ACB равна мере дуги AB, деленной на 2. Дуга AB равна дуге BC, так как эти дуги охватывают тот же угол, следовательно, мера дуги AB равна мере угла ACB. Таким образом, угол ACB также равен 45 градусам.

Свойство 2: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны AB:

AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 4^2 + x^2 AB^2 = 16 + x^2

Также, с учетом свойства 2, имеем:

AB * BC = AC * (AB + BC) x * x = 4 * (x + x) x^2 = 8x

Теперь можем решить уравнение:

16 + x^2 = 8x x^2 - 8x + 16 = 0

Это уравнение квадратного типа. Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = (-8)^2 - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть только один корень:

x = -b / 2a x = -(-8) / 2 * 1 x = 8 / 2 x = 4

Таким образом, сторона AB равна 4, а сторона BC тоже равна 4.

Теперь, чтобы найти радиус окружности (R), мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AOC:

AC^2 + OC^2 = AO^2 4^2 + R^2 = (R + 105)^2 16 + R^2 = R^2 + 210R + 11025 210R = 11009 R = 11009 / 210 R ≈ 52.42

Итак, радиус окружности около треугольника ABC составляет около 52.42, а сторона AB равна 4.