Question

Пусть точка O - центр окружности, вписанной остроугольный треугольник ABC. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОА равны, то треугольник АВС - правильный.

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим описанный вокруг треугольника АВС круг с центром O. Так как треугольник АВС остроугольный, все его вершины (A, B и C) лежат на этой окружности. Поскольку треугольник АВС описан вокруг окружности с радиусом R (радиус окружности, вписанной в треугольник АОВ, ВОС и СОА), то все его стороны равны R.

Теперь рассмотрим треугольники АОВ, ВОС и СОА. По условию, радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, также равны R.

Теперь давайте применим формулу для радиуса вписанной окружности в треугольнике:

R = (Площадь треугольника) / (Полупериметр треугольника)

Заметим, что в треугольниках АОВ, ВОС и СОА площадь равна одной и той же, обозначим её как S. Полупериметр у треугольников тоже одинаковый, обозначим его как P.

Тогда для всех трех треугольников АОВ, ВОС и СОА имеем:

R = S / P

Теперь сравним площади этих трех треугольников. Заметим, что они образуют вместе треугольник АВС:

Площадь треугольника АВС = Площадь треугольника АОВ + Площадь треугольника ВОС + Площадь треугольника СОА = 3S

Также сравним полупериметры:

Полупериметр треугольника АВС = Полупериметр треугольника АОВ = Полупериметр треугольника ВОС = Полупериметр треугольника СОА = P

Теперь выразим радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:

R(треугольник АВС) = 3S / P

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен 3S / P, а радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС и СОА, равны S / P.

Теперь, если R(треугольник АВС) = 3S / P = S / P, то 3S = S, и это выполняется только в том случае, если S = 0, что означает, что треугольник АВС является вырожденным и все его вершины совпадают, что соответствует равностороннему (правильному) треугольнику.

Таким образом, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС и СОА равны, то треугольник АВС является правильным (равносторонним) треугольником.