Question

98б!!!!!!!!!!!!!!!! Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят ее на 3 равные части.

Answer 1

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

О - точка пересечения диагоналей, AO=CO, BO=DO=1/2 BD

BO - медиана в △ABC, DO - медиана в △CDA.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

E - точка пересечения медиан в △ABC,

BE=2/3 BO =1/3 BD, EO=1/3 BO =1/6 BD

F - точка пересечения медиан в △CDA,

DF=2/3 DO =1/3 BD, FO=1/3 DO =1/6 BD

EF= EO+FO =2/6 BD =1/3 BD

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится изучить свойства параллелограмма и применить свойства медиан треугольника.

Пусть точки пересечения медиан треугольника ABC обозначены как M и N, где M - точка пересечения медианы, проведенной из вершины A, и N - точка пересечения медианы, проведенной из вершины C. Также обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма BD и AC как точку P.

Для начала докажем, что точка P лежит на медиане треугольника ABC, проведенной из вершины A:

1. Так как ABCD - параллелограмм, то диагональ AC делит его на два равных треугольника: ABC и CDA.

2. Медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, делит сторону BC пополам (точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1).

3. Обозначим середину стороны BC как точку K. Тогда AK = KC.

4. Так как AC делит параллелограмм на два равных треугольника, AK = KC = CP.

5. Таким образом, точка P лежит на медиане треугольника ABC, проведенной из вершины A.

Теперь докажем, что точка P лежит на медиане треугольника CDA, проведенной из вершины C:

1. Рассмотрим треугольник CDA. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC и CD || AB.

2. Также, так как P - точка пересечения диагоналей, то AD и BC пересекаются в точке P.

3. Так как AD || BC, и точка P лежит на AD и BC, то P делит AD и BC в отношении 1:2 (точка пересечения параллельных прямых делит их в том же отношении, в котором они пропорциональны).

4. Пусть точка Q - середина стороны AD. Тогда AP = PQ.

5. Так как P делит AD и BC в отношении 1:2, и AP = PQ, то CP = PQ.

6. Таким образом, точка P лежит на медиане треугольника CDA, проведенной из вершины C.

Теперь у нас есть, что точка P лежит на медианах треугольников ABC и CDA. Далее, докажем, что она делит диагональ BD на три равные части:

1. Рассмотрим треугольник ABD. Точка M - точка пересечения медиан треугольника ABC, проведенная из вершины A, делит сторону BD пополам (точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1).

2. Рассмотрим треугольник CBD. Так как точка P лежит на медиане треугольника CBD, проведенной из вершины C, она также делит сторону BD пополам (точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1).

3. Таким образом, точка P делит диагональ BD на три равные части: BP = PD.

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят ее на три равные части.