Question

бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15 і 20 см знайти радіус кола вписаного в цей трикутник

Answer 1

Биссектриса прямого угла делит гипотенузу с = 15 + 20 = 35см на отрезки сb = 20см и ca = 15см, пропорциональные прилежащим к этим отрезкам катетам b = 20x  и a = 15х.

Найдём катеты а и b по теореме Пифагора

с² = а² + b²

35² = (15x)² + (20x)²

35² = 225x² + 400x²

35² = 625x²

35² = (25x)²

x = 35/25

x = 1,4

a = 15x = 15 · 1.4 = 21(cм)

b = 20х = 20 · 1,4 = 28(см)

Радиус r вписанной окружности равен

r = (a + b - c)/2 = (21 + 28 - 35)/2 = 7(cм)

Ответ: 7см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться відомість, що бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки, рівні довжині проекцій катетів на гіпотенузу. Тобто, якщо бісектриса розділяє гіпотенузу на відрізки довжинами a і b, а катети трикутника мають довжини c і d, то маємо наступні співвідношення:

a/b = c/d.

В нашому випадку, ми знаємо, що бісектриса ділить гіпотенузу (позначимо її як h) на відрізки довжинами 15 см і 20 см:

a = 15 см, b = 20 см.

Також, ми знаємо, що гіпотенуза трикутника (позначимо її як c) дорівнює:

c = a + b.

Знаючи ці значення, ми можемо знайти довжини катетів трикутника. Після цього зможемо знайти півпериметр трикутника s (для подальшого використання при обчисленні радіуса кола вписаного в трикутник), який визначається як:

s = (a + b + c)/2.

Тепер обчислимо всі значення:

1. Довжина катетів трикутника: c = a + b = 15 см + 20 см = 35 см.

2. Півпериметр трикутника: s = (a + b + c)/2 = (15 см + 20 см + 35 см)/2 = 70 см/2 = 35 см.

Наостанку, знаючи півпериметр трикутника, можемо обчислити радіус кола, вписаного в цей трикутник, за допомогою формули:

r = A/s,

де A - площа трикутника, s - півпериметр трикутника, а r - радіус кола, вписаного в трикутник.

Але також ми знаємо, що площа прямокутного трикутника виражається як:

A = (a * b)/2.

Підставимо це значення:

r = (a * b)/(2 * s) = (15 см * 20 см)/(2 * 35 см) = (300 см^2)/(70 см) ≈ 4.29 см.

Таким чином, радіус кола, вписаного в цей прямокутний трикутник, приблизно 4.29 см.