Question

На высоте равнобедренного треугольника АВС, проведённой к основанию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС- точки М и К соответственно (точки М, Р и К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК. Докажите, что: а) углы ВМР и ВКР равны; б) углы КМР и РКМ равны.

Answer 1

На рисунке изображен треугольник. только на рисунке могу показать.
но углы точно будут равны(забыла отметить)

Answer 2

Для доказательства утверждений а) и б) вам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства углов, образованных пересечением прямых.

Предположим, что треугольник АВС - равнобедренный, где AB = AC, и проведены высота AP и точки М, Р и К, как описано в вопросе.

a) Докажем, что углы ВМР и ВКР равны:

1. В равнобедренном треугольнике АВС, проведенная высота AP также является медианой и биссектрисой. Таким образом, AM = MC.

2. У нас дано, что BM = BK. Поскольку AM = MC и BM = BK, то треугольники AMB и CKB являются равными по двум сторонам и углу.

3. Из равенства треугольников AMB и CKB следует, что углы AMB и CKB равны.

4. Углы AMB и ВМР являются вертикальными углами (поскольку это углы, образованные пересечением прямых AB и РМ), поэтому они равны.

5. Таким же образом, углы ВКР и CKB равны.

6. Так как углы CKB и ВМР равны, то и углы ВМР и ВКР равны.

Таким образом, утверждение а) доказано.

б) Докажем, что углы КМР и РКМ равны:

1. Рассмотрим треугольники BMK и BMР.

2. У нас уже есть, что BM = BK, а также ВМР и ВКР равны (по утверждению а)).

3. Таким образом, треугольники BMK и BMР равны по двум сторонам и углу.

4. Из равенства треугольников BMK и BMР следует, что углы КМР и РКМ равны.

Таким образом, утверждение б) также доказано.

В результате, мы доказали, что углы ВМР и ВКР равны (утверждение а)) и углы КМР и РКМ равны (утверждение б)) в равнобедренном треугольнике АВС с проведенной высотой AP и точками М, Р и К, как описано в вопросе.