Question

Можете пожалуйста подробно объяснить как решать. Выяснить взаимное расположение плоскостей: 2x-y+z-1=0 и -4x+2y-2z-1=0.Варианты ответов:1. Перпендикулярные2. Параллельные3. Пересекаются4. Совпадают

Answer 1

Параллельные вроде да

Answer 2

Для выяснения взаимного расположения данных плоскостей, нужно рассмотреть их нормальные векторы и связь между ними. Плоскость можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости. Нормальный вектор указывает направление перпендикулярно плоскости.

В данном случае у нас две плоскости:

1. Плоскость P1: 2x - y + z - 1 = 0
2. Плоскость P2: -4x + 2y - 2z - 1 = 0

Для того чтобы найти нормальные векторы к этим плоскостям, нужно взять коэффициенты при x, y и z в уравнениях и расположить их в векторы.

1. Нормальный вектор к P1: (N1) = (2, -1, 1)

2. Нормальный вектор к P2: (N2) = (-4, 2, -2)

Теперь, чтобы определить взаимное расположение плоскостей, нужно проанализировать связь между их нормальными векторами.

Варианты ответов:

1. Перпендикулярные (orthogonal): Две плоскости являются перпендикулярными, если и только если их нормальные векторы являются перпендикулярными (имеют угол 90 градусов между ними).
2. Параллельные (parallel): Две плоскости являются параллельными, если и только если их нормальные векторы коллинеарны (имеют одинаковое или противоположное направление).
3. Пересекаются (intersecting): Две плоскости пересекаются, если их нормальные векторы не являются параллельными и не перпендикулярными.
4. Совпадают (coincident): Две плоскости совпадают, если они идентичны и лежат друг на друге.

Теперь давайте проанализируем нормальные векторы (N1 и N2) и определим взаимное расположение:

N1 = (2, -1, 1) N2 = (-4, 2, -2)

Можно заметить, что эти два вектора не параллельны, так как они не коллинеарны (не имеют одинаковое направление или противоположное). Также они не равны друг другу, поэтому плоскости не совпадают.

Для того чтобы проверить, перпендикулярны ли они, можно вычислить скалярное произведение этих векторов и проверить, равно ли оно нулю:

N1 * N2 = (2 * -4) + (-1 * 2) + (1 * -2) = -8 - 2 - 2 = -12

Так как скалярное произведение не равно нулю, то эти плоскости не перпендикулярны.

С учетом этого, мы можем сделать вывод, что эти две плоскости пересекаются (вариант ответа №3).