Question

точка h является основанием высоты проведённой из вершины прямого угла b треугольника abc. Окружность с диаметром bh пересекает стороны ab и cb в точках p и k соответственно. Найдите pk, если bh=13

Answer 1

Ответ:

16

Объяснение:

Угол PBK = 90° и опирается на дугу KHP, значит дуга KHP = 180°, значит, хорда PK диаметр окружности, значит PK=16

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойством окружностей, проходящих через основания высот треугольника.

Дано: Длина диаметра окружности bh = 13.

Мы знаем, что если окружность проходит через вершину прямого угла, то она является описанной окружностью прямоугольного треугольника.

Таким образом, треугольник pbh и треугольник kbh прямоугольные.

Обозначим длины отрезков: bp = x pk = y hk = z

Тогда имеем следующую систему уравнений:

1. В треугольнике pbh: bp^2 + ph^2 = bh^2 x^2 + h^2 = 13^2

2. В треугольнике kbh: kh^2 + hk^2 = bh^2 z^2 + h^2 = 13^2

3. pk = bp + bk = x + (13 - z) = x + 13 - z

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений и найти значения x, y и z, мы должны учесть ещё одно свойство прямоугольного треугольника: основание высоты, проведенной из прямого угла, делит его на два подобных треугольника.

Это означает, что отношение сторон в подобных треугольниках равно, а также их площади. Используем это свойство:

Площадь треугольника abc = (1/2) * ab * bc = (1/2) * 13 * bc Площадь треугольника abc = (1/2) * bc * ch = (1/2) * bc * h

Сократим коэффициенты и получим уравнение: bc = 2h

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. x^2 + h^2 = 13^2
2. z^2 + h^2 = 13^2
3. x + 13 - z = y
4. 2h = bc

Перепишем уравнение 4) в виде z = 2h: z = 2h

Подставим z в уравнение 2): (2h)^2 + h^2 = 13^2 4h^2 + h^2 = 169 5h^2 = 169 h^2 = 169/5 h = √(169/5) = √(33.8)

Теперь найдем x, подставив h в уравнение 1): x^2 + (√(33.8))^2 = 13^2 x^2 + 33.8 = 169 x^2 = 135.2 x = √135.2 ≈ 11.63

Теперь найдем z, подставив h в уравнение z = 2h: z = 2 * √(33.8) ≈ 2 * 5.81 ≈ 11.62

И, наконец, найдем y, подставив x и z в уравнение 3): y = x + 13 - z ≈ 11.63 + 13 - 11.62 ≈ 13.01

Итак, значение pk ≈ 13.01.