Question

Геометрия. дана прямая d и точка А. Вычислить координаты основания перпендикуляра , проведенного из точки А на прямую d,если : 1)d: 3x+4y-1=0, A(2;-1); 2)d:x+3y+2=0,A(-2;3)

Answer 1

Даны прямые и точки: 1)d: 3x+4y-1=0, A(2; -1);  2)d:x+3y+2=0, A(-2; 3).

Вычислить координаты основания перпендикуляра , проведенного из точки А на прямую d.

Есть общий способ: определяем уравнение перпендикуляра и ищем точку пересечения, которая и является основанием перпендикуляра.

1) d: 3x + 4y - 1 = 0, A(2; -1).

Уравнение перпендикуляра имеет вид 4х - 3у + С = 0 (по свойству А1*А2 + В1*В2 = 0).

Для определения параметра С подставим координаты точки A(2; -1):

4*2 - 3*(-1) + С = 0,  С = -8 - 3 = -11.  4х - 3у - 11 = 0.

Решаем: 3x + 4y - 1 = 0|    x3     9x + 12y - 3 = 0

               4х - 3у - 11 = 0|   x4     16x - 12y - 44 = 0     сложим:

                                                     25x       - 47 = 0

  Ответ:  x = 47/25 = 1,88.

               y = (4*(47/25) - 11)/3 = -87/75 = -29/25 = -1,16.

2) d: x + 3y + 2 = 0, A(-2; 3).

  Уравнение перпендикуляра: 3х - у + С = 0, подставим  A(-2; 3).

3*(-2) - 3 + С = 0,    С = 6 + 3 = 9.   Уравнение 3х - у + 9 = 0.

Пересечение:  x + 3y + 2 = 0                x + 3y + 2 = 0                                                                          

                         3х - у + 9 = 0   | x3 =   9х - 3у + 27 = 0

                                                              10x + 29 = 0

Ответ:   x = -29/10 = -2,9.    

             y = 3*(-29/10) + 9 = (-87 + 90)/10 = 3/10 = 0,3.

Есть в Интернете готовая формула по координатам точек даёт ответ.

Но при уравнении прямой надо определить координаты точек, задаваясь координатой точки х, определить у.

В приложении (для любознательных) дана копия с файла Эксель для решения данной задачи.

Answer 2

Чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из точки A на прямую d, нужно следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдите уравнение прямой, перпендикулярной d и проходящей через точку A. Шаг 2: Найдите точку пересечения прямых d и перпендикуляра, которая будет являться основанием перпендикуляра.

Для удобства решения, сначала перепишем уравнения прямых в общем виде "Ax + By + C = 0".

1. d: 3x + 4y - 1 = 0, A(2, -1):

Шаг 1: Найдем уравнение перпендикулярной прямой. Коэффициенты прямой d: A = 3, B = 4. Так как перпендикулярные прямые имеют противоположные угловые коэффициенты, коэффициенты перпендикулярной прямой будут: A' = -4 и B' = 3.

Теперь, используя точку A(2, -1) и коэффициенты перпендикулярной прямой, найдем уравнение этой прямой:

Уравнение перпендикулярной прямой: -4x + 3y + C' = 0.

Подставим координаты точки A в уравнение: -4 * 2 + 3 * (-1) + C' = 0 -8 - 3 + C' = 0 C' = 11.

Уравнение перпендикулярной прямой: -4x + 3y + 11 = 0.

Шаг 2: Найдите точку пересечения прямых d и перпендикуляра, чтобы найти основание перпендикуляра. Решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой d и перпендикулярной прямой:

Система уравнений:

1. 3x + 4y - 1 = 0,
2. -4x + 3y + 11 = 0.

Чтобы найти координаты точки пересечения, решим эту систему уравнений. Можно сделать это методом сложения/вычитания или подстановки.

Давайте используем метод сложения/вычитания:

Умножим уравнение (2) на 4 и уравнение (1) на 3, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми: 3) 12x + 16y - 4 = 0,

4. -12x + 9y + 44 = 0.

Сложим уравнения (3) и (4): 25y + 40 = 0.

Выразим y: y = -40 / 25 y = -8/5.

Теперь подставим значение y в уравнение (1) для нахождения x: 3x + 4 * (-8/5) - 1 = 0 3x - 32/5 - 1 = 0 3x = 32/5 + 1 3x = 32/5 + 5/5 3x = 37/5 x = 37/5 * 1/3 x = 37/15.

Таким образом, координаты основания перпендикуляра из точки A(2, -1) на прямую d: (37/15, -8/5).

2. d: x + 3y + 2 = 0, A(-2, 3):

Шаг 1: Найдем уравнение перпендикулярной прямой. Коэффициенты прямой d: A = 1, B = 3. Так как перпендикулярные прямые имеют противоположные угловые коэффициенты, коэффициенты перпендикулярной прямой будут: A' = -3 и B' = 1.

Теперь, используя точку A(-2, 3) и коэффициенты перпендикулярной прямой, найдем уравнение этой прямой:

Уравнение перпендикулярной прямой: -3x + y + C' = 0.

Подставим координаты точки A в уравнение: -3 * (-2) + 3 + C' = 0 6 + 3 + C' = 0 C' = -9.

Уравнение перпендикулярной прямой: -3x + y - 9 = 0.

Шаг 2: Найдите точку пересечения прямых d и перпендикуляра, чтобы найти основание перпендикуляра. Решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой d и перпендикулярной прямой:

Система уравнений:

1. x + 3y + 2 = 0,
2. -3x + y - 9 = 0.

Чтобы найти координаты точки пересечения, решим эту систему уравнений. Можно сделать это методом сложения/вычитания или подстановки.

Давайте используем метод сложения/вычитания:

Умножим уравнение (2) на 3 и уравнение (1) на 1, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми: 3) 3x + 9