Question

Из точки, отстоящей от окружности на расстоянии, равном её радуису, проведены две касательные к этой окружности. Найти угол между касательными.

Answer 1

Точка отстоит от окружности на радиус, а от центра окружности на два радиуса. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Имеем прямоугольный треугольник, в котором катет равен половине гипотенузы, следовательно лежит против угла 30. Угол между касательными равен 30*2=60.

Answer 2

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, и из точки P, которая находится на расстоянии r от окружности, проведены две касательные, касающиеся окружности в точках A и B.

Соединим центр окружности O с точками касания A и B. Получим два треугольника OPA и OPB.

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то угол между касательной и радиусом (угол тангенциальный) равен 90 градусов.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника OPA и OPB с известными углами (90° в точке P) и известной гипотенузой OP, равной радиусу окружности r.

Чтобы найти угол между касательными, нам нужно найти угол между отрезками OA и OB.

Поскольку эти треугольники имеют общий катет OP, а катеты одного из треугольников (OA) и радиус окружности (OP) известны, то углы OPA и OPB равны.

Таким образом, угол между касательными AOB равен двойному углу OPA (или OPB) и составляет 2 * 90° = 180°.

Итак, угол между касательными к окружности, проведенными из точки, отстоящей от окружности на расстоянии, равном её радиусу, равен 180 градусов.