Question

Знайдіть об'єм конуса, твірна якого дорівнює 6 і утворюєз площиною основи кут 30 градусів.

Answer 1

V=1\3 * π * R² * h

Проведемо висоту конуса СО і розглянемо ΔАОС - прямокутний.

СО=1\2 АС=6:2=3 (катет, що лежить навпроти кута 30 градусів)

АО²=АС²-СО²=36-9=27.

V=1\3 * π * 27 * 3 = 27π (кв. од.)

Answer 2

Щоб знайти об'єм конуса, нам знадобиться формула для об'єму конуса, яка виглядає так:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

де $V$ - об'єм конуса, $r$ - радіус основи конуса, $h$ - висота конуса.

Однак, у нашому випадку, ми не маємо вказаного радіуса $r$ або висоти $h$, але маємо інформацію про твірну $l = 6$ і кут $\theta = 30^\circ$ між твірною і площиною основи.

Ми можемо скористатися тригонометрією, щоб знайти висоту $h$ та радіус основи $r$.

1. Знайдемо висоту $h$ за допомогою тригонометрії: Відношення між висотою $h$ і твірною $l$ та кутом $\theta$ між ними в правильному трикутнику:

   $\sin(\theta) = \frac{h}{l}.$

   Підставимо дані:

   $\sin(30^\circ) = \frac{h}{6}.$

   $h = 6 \times \sin(30^\circ).$ $h = 6 \times 0.5 = 3.$

2. Знайдемо радіус основи $r$ за допомогою тригонометрії: У правильному трикутнику, пов'язаному з площиною основи конуса, ми можемо знайти половину сторони основи (півдіаметра основи) $r'$, а потім знайти радіус $r$ зв'язавши його з $r'$.

   $\cos(\theta) = \frac{r'}{l}.$

   $r' = l \times \cos(\theta).$ $r' = 6 \times \cos(30^\circ).$ $r' = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

   Тепер знаємо, що радіус основи $r = 2 \times r' = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

3. Знайдемо об'єм конуса, використовуючи формулу:

   $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$

   $V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \times 3.$ $V = \frac{1}{3} \pi \times 108 \times 3.$ $V = 36\pi.$

Отже, об'єм цього конуса дорівнює $36\pi$ кубічних одиниць. У деяких випадках можна округлити значення $\pi$ до певної кількості десяткових знаків або замінити його числовим значенням, якщо потрібно.