Question

В произвольный треугольник вписана окружность, и делит его сторону на отрезки a и b. Найти площадь этого треугольника, если угол треугольника, противолежащий этой стороне равен α. Нужно доказательство, что ответ S=a*b*ctg(α/2)

Answer 1

                  Решение : //////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства формулы для площади треугольника, вписанного в окружность, обозначим данную окружность центром O и радиусом r.

Предположим, что треугольник ABC вписан в данную окружность, где сторона BC делится на отрезки a и b точкой D, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
             B
            / \
           /   \
       a  /     \  b
         /   D   \
        /_________\
       A     c     C

Также обозначим угол BAC как α.

Из определения вписанного угла следует, что угол BOC (центральный угол, опирающийся на дугу BC) равен 2α, а угол BDC (вписанный угол) равен α.

1. Выразим площадь треугольника ABC через радиус окружности r и стороны a и b: Площадь треугольника ABC можно выразить через радиус окружности r и стороны a и b, используя формулу для площади треугольника, вписанного в окружность:

S = (1/2) * a * b * sin(α).

2. Выразим радиус окружности через стороны a, b и сторону c:

По теореме косинусов для треугольника BDC: cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c).

Также из прямоугольного треугольника BOD следует: sin(α) = b / (2 * r).

Из этих двух уравнений мы можем выразить радиус окружности r через стороны a, b и угол α:

r = b / (2 * sin(α)).

3. Подставим выражение для радиуса r в формулу площади треугольника ABC:

S = (1/2) * a * b * sin(α) = (1/2) * a * b * (b / (2 * r)).

Теперь заменим r в этом выражении:

S = (1/2) * a * b * (b / (2 * (b / (2 * sin(α))))) = (1/2) * a * b * (b / (b / sin(α))).

Упростим:

S = (1/2) * a * b * (b * sin(α) / b) = (1/2) * a * b * sin(α).

Мы получили, что площадь S треугольника ABC равна (1/2) * a * b * sin(α).

4. Применим тригонометрическое тождество ctg(α/2) = 1 / tan(α/2):

S = (1/2) * a * b * sin(α) = (1/2) * a * b * (1 / (1/tan(α/2))).

Упростим:

S = (1/2) * a * b * tan(α/2).

Таким образом, мы получили формулу для площади треугольника, вписанного в окружность и разделенного на отрезки a и b: S = a * b * ctg(α/2).

Это завершает доказательство.