Question

В треугольнике ABC угол A равен 30 градусов , угол B равен 45 градусов . BC=4√2 Найдите AC и радиус описанной около треугольника окружности

Answer 1

Решение на фотографии...

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства треугольников.

1. Найдем угол C в треугольнике ABC, используя свойство суммы углов треугольника: Угол C = 180° - (Угол A + Угол B) = 180° - (30° + 45°) = 180° - 75° = 105°.

2. Найдем сторону AC, используя теорему синусов, которая гласит: (a/sin(A)) = (b/sin(B)) = (c/sin(C)), где a, b и c - стороны треугольника, A, B и C - соответствующие им углы.

Мы уже знаем, что AB = 4√2 (поскольку треугольник ABC - прямоугольный с углами 30° и 45°), а угол C равен 105°. Подставим значения в формулу:

(AC/sin(30°)) = (4√2/sin(105°)).

Теперь найдем sin(30°) и sin(105°):

sin(30°) = 1/2, sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°).

sin(75°) можно выразить через sin(45°), зная, что sin(2A) = 2sin(A)cos(A):

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

Теперь вернемся к уравнению:

(AC/1/2) = (4√2/(√6 + √2)), AC = (4√2/(√6 + √2)) * 2, AC = (8√2/(√6 + √2)).

Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника ABC. Для этого воспользуемся теоремой описанной окружности, которая утверждает, что радиус описанной окружности равен отношению длины любой стороны треугольника к удвоенной площади треугольника.

Площадь треугольника ABC можно найти, зная длины его сторон по формуле Герона:

Пусть s - полупериметр треугольника: s = (AB + AC + BC)/2 = (4√2 + 8√2 + 4√2)/2 = 8√2.

Площадь треугольника S:

S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)), S = √(8√2 * (8√2 - 4√2) * (8√2 - (8√2/(√6 + √2))) * (8√2 - 4√2)), S = √(8√2 * 4√2 * (8√2 - (8√2/(√6 + √2))) * 4√2), S = √(256 * (8√2 - (8√2/(√6 + √2)))), S = √(256 * (8√2 - (8√2/(√6 + √2)))), S = √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))), S = √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))), S = √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))).

Теперь радиус описанной окружности R:

R = (AB * AC * BC) / (4 * S), R = (4√2 * (8√2/(√6 + √2)) * 4√2) / (4 * √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2)))), R = (64 * (√2 * (8√2/(√6 + √2)))) / (4 * √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2)))), R = (16 * (8√2/(√6 + √2))) / √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))), R = (128√2/(√6 + √2)) / √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))).

Итак, длина стороны AC равна (8√2/(√6 + √2)), а радиус описанной окружности равен (128√2/(√6 + √2)) / √(2048 - 256* (8√2/(√6 + √2))).