Question

Через вершину B трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведена прямая, параллельная диагонали AC. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке E. Докажите, что медиана BK треугольника DBE равна отрезку, соединяющему середины оснований трапеции.

Answer 1

                      Решение : /////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим середины оснований трапеции ABCD как M (середина AB) и N (середина CD).
2. Обозначим точку пересечения медианы BK с диагональю AC как P.
3. Докажем, что медиана BM делит диагональ AC пополам.

Для начала заметим, что трапеция ABCD является подобной треугольнику BDE, так как углы при основаниях обеих фигур равны (они соответственные углы при параллельных прямых). Также, угол BDE равен углу ABC, так как они соответственные при равных углах между параллельными прямыми. Из подобия следует, что соответственные стороны трапеции и треугольника пропорциональны.

Теперь рассмотрим треугольник ABP. Медиана BM делит сторону AC в пропорции 2:1 (так как BM - медиана, а AM и MC - половины оснований). Также, из подобия треугольника ABP и треугольника BDE следует, что сторона BP делит сторону AC также в пропорции 2:1.

Поскольку отрезок AC делится точкой P в пропорции 2:1, а отрезок AC делится медианой BM также в пропорции 2:1, точка P совпадает с точкой M - серединой основания AD трапеции.

Таким образом, медиана BK треугольника DBE делит диагональ AC трапеции пополам, что и требовалось доказать.