Question

Отрезки АВ, ВС и АД имеют одинаковую длину и точка Д лежит на отрезке ВС. Докажите, что серединный перпендикуляр к ДС, биссектриса угла АДС и прямая АС проходят через одну точку​

Answer 1

∆АНВ ~ ∆CPE (по острому углу <A = <C в равнобедренном ∆АВС) =>

<CEP = <ABH.

<ABH = <CBH = <DBH. (ВН - высота, медиана и биссектриса).

<CDA+<ADB = 180° (смежные) =>  

<CDA+<DBA  = 2<CDE+2<DBH =180°  =>  <CDE+<DBH = 90°.

<CDE= 90 - <DBH = 90 - <ABH. Но <ABH = <CEP (показано выше).

Тогда <CDE =90 - <CEP  или <CEP = 90  - <CDE.  

В прямоугольном треугольнике PDE

PED = 90 - <CDE   =>

<CEP = <PED и треугольник СED - равнобедренный, где ЕР и высота, и медиана, и биссектриса.

Следовательно, точка Е - пересечение прямых АС, ЕР и DE, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим ситуацию, описанную в задаче.

Пусть отрезки AB, BC и AD имеют одинаковую длину, и точка D лежит на отрезке BC.

1. Пусть M - середина отрезка BC. Тогда, так как отрезки AB и BC имеют одинаковую длину, точка M также является серединой отрезка AB. Обозначим середину отрезка AB как N.

2. Так как отрезки AB и BC имеют одинаковую длину, у них равные углы. А и B - соответствующие углы по отношению к параллельным прямым AB и BC, значит, они равны.

3. Теперь рассмотрим треугольник ADM. Точка N является серединой отрезка AM, так как N - середина отрезка AB, а AB и AM имеют одинаковую длину. Таким образом, NM - медиана треугольника ADM, а значит, NM также является перпендикуляром к стороне AD треугольника ADM в точке M.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр из точки M (середина BC) к стороне AD проходит через середину стороны AD, обозначим эту точку как P.

4. Теперь рассмотрим треугольник DSC. Так как точка P - середина стороны AD, а отрезки AD и SC имеют одинаковую длину (по условию задачи), то перпендикуляр из точки P к стороне SC также проходит через середину стороны SC, обозначим эту точку как Q.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр из точки P (середина BC) к стороне AD и перпендикуляр из точки Q (середина SC) к стороне DS пересекаются в точке D. Назовем эту точку O.

5. Теперь докажем, что прямая AC проходит через точку O. Обратим внимание, что треугольник ABC является равнобедренным, так как AB и BC имеют одинаковую длину и у них равные углы. Следовательно, точка N (середина AB) также является высотой треугольника ABC, опущенной из вершины C.

Таким образом, точки N и Q совпадают, и это точка O, через которую проходят перпендикуляры к сторонам AD и SC. Поскольку N также является серединой стороны AB, то луч AN совпадает с прямой AC. Следовательно, прямая AC также проходит через точку O.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр к DC, биссектриса угла ADS и прямая AC проходят через одну точку - точку O.