Question

50баллов! ПРОШУ ПОМОГИТЕ! ГЕОМЕТРИЯ! НАДО НА ЗАВТРА СДЕЛАТЬ ПОЖАЛУЙСТА! ВОТ ЗАДАЧА: Биссектрисы углов L и M трапеции KLMN пересекаются в точке А, лежащей на стороне KN. Докажите, что точка А равноудалена от прямых KL, ML, и MN.

Answer 1

В за­да­че воз­мож­ны два случая.

Первый случай, AD — одно из оснований. Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и BOK Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OBH и OBK, они прямоугольные, углы HBO и KBO равны, OB — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да OH = OK. Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ков KOC и COL получаем, что OK = OL. Таким образом, OH = OK = OL.

 

 

 

 

Второй случай, AD — одна из бо­ко­вых сторон. Не­смот­ря на дру­гую гео­мет­ри­че­скую конфигурацию, до­ка­за­тель­ство пол­но­стью по­вто­ря­ет до­ка­за­тель­ство для пер­во­го случая.

Answer 2

Проведем из О к указанным сторонам трапеции перпендикуляры к АВ -а, к ВС - е, к ML-у 

Рассмотрим ∆ ВОа и ВОе. Они прямоугольные , имеют общую гипотенузу ВО и по равному острому углу при В. 

           Если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны. ⇒

катет аО = еО

Аналогично доказывается равенство катетов еО и уО треугольников СОе и СОу. 

Отрезки Оа, Ое, Оу равны и как перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от О до  АВ, до ВС и до AD. 

Т.е. О - равноудалена от прямых  АВ,  ВС и AD, ч.т.д.

Answer 3

Давайте рассмотрим трапецию KLMN и докажем, что точка А равноудалена от прямых KL, ML и MN.

Пусть точка В - середина стороны KN. Так как точка В является серединой, то она также является точкой пересечения биссектрис углов L и M трапеции KLMN.

Теперь рассмотрим треугольник ВKL. В данном треугольнике у нас есть две равные части углов:

1. Угол LKB равен углу LKB (по определению биссектрисы).
2. Угол LKV также равен углу LKV (по определению биссектрисы).

Таким образом, треугольник ВKL является равнобедренным треугольником, что означает, что линия ВК равна линии ВЛ (по определению равнобедренного треугольника).

Аналогично рассмотрим треугольник ВML. Здесь также у нас есть две равные части углов:

1. Угол MKL равен углу MKL (по определению биссектрисы).
2. Угол MKV равен углу MKV (по определению биссектрисы).

Таким образом, треугольник ВML также является равнобедренным, и линия ВМ равна линии ВЛ.

Итак, у нас получилось, что линии ВК и ВМ равны. Но линия ВК является половиной стороны KN, а линия ВМ - половиной стороны ML (по определению точки В как середины стороны KN). Таким образом, сторона KN равна стороне ML.

Теперь рассмотрим треугольник АKL. Точка А лежит на биссектрисе угла K, а значит, угол КАЛ равен углу КАЛ (по определению биссектрисы). Также у нас есть угол ВКЛ равен углу ВЛК (так как треугольник ВKL равнобедренный).

Таким образом, по принципу равенства углов у равнобедренных треугольников, угол КАЛ равен углу ВЛК.

Аналогично рассмотрим треугольник АML. Точка А лежит на биссектрисе угла M, а значит, угол МАL равен углу МАЛ (по определению биссектрисы). Также у нас есть угол ВМЛ равен углу ВЛМ (так как треугольник ВML равнобедренный).

Таким образом, по принципу равенства углов у равнобедренных треугольников, угол МАЛ равен углу ВЛМ.

Теперь, рассмотрим треугольник АВЛ. У нас есть:

1. Угол КАЛ равен углу ВЛК.
2. Угол МАЛ равен углу ВЛМ.

Это означает, что треугольник АВЛ равнобедренный, и линии АВ и ВЛ равны.

Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Аналогично, у нас есть:

1. Угол КАМ равен углу ВМК.
2. Угол МАВ равен углу ВМА.

Это также означает, что треугольник АВМ равнобедренный, и линии АВ и ВМ равны.

Таким образом, мы доказали, что точка А равноудалена от прямых KL, ML и MN, так как расстояние от точки А до точки В одинаково (по равенству линий АВ и ВЛ, а также АВ и ВМ), и точка В лежит на всех трех прямых KL, ML и MN.