Question

Решите задачу с подробным объяснением! Даю 30 баллов! Расстояние между двумя противолежащими вершинами правильного октаэдра равно 12. Найдите площадь поверхности октаэдра.

Answer 1

...............................................

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторая информация о правильном октаэдре. Правильный октаэдр - это выпуклый многогранник с восемью равными равносторонними треугольниками в качестве граней.

Площадь поверхности правильного октаэдра можно найти, используя следующую формулу:

$A = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2$

где $A$ - площадь поверхности октаэдра, а $a$ - длина стороны равностороннего треугольника, который является гранью октаэдра.

Чтобы найти длину стороны $a$ равностороннего треугольника, проведем поперечник между двумя противолежащими вершинами октаэдра (это расстояние равно 12, согласно условию задачи). Образовавшуюся при этом фигуру можно рассматривать как прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $h$, где $a$ - искомая сторона равностороннего треугольника, а $h$ - расстояние от вершины правильного октаэдра до центра одной из граней (высота равностороннего треугольника).

Для правильного октаэдра существует отношение между стороной треугольника и расстоянием от вершины до центра грани. Это отношение составляет:

$\frac{h}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь можем найти значение $a$:

$a = \frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h \cdot \sqrt{2}$

Теперь нам нужно найти высоту $h$ прямоугольного треугольника. Заметим, что у нас есть еще один прямоугольный треугольник, образованный половиной поперечника и высотой $h$. Его гипотенуза равна 12 (половина поперечника) и катет равен половине стороны треугольника $a/2$. Таким образом, можем записать:

$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 12^2$

$h^2 + \frac{a^2}{4} = 144$

$h^2 = 144 - \frac{a^2}{4}$

Теперь заменим $a$ на $h \cdot \sqrt{2}$:

$h^2 = 144 - \frac{(h \cdot \sqrt{2})^2}{4}$

$h^2 = 144 - \frac{2h^2}{4}$

$h^2 = 144 - \frac{h^2}{2}$

$\frac{h^2}{2} = 144$

$h^2 = 288$

$h = \sqrt{288}$

$h = 12\sqrt{2}$

Теперь, когда мы нашли $h$, можем найти $a$:

$a = h \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 24$

Теперь, когда мы знаем длину стороны $a$, можем найти площадь поверхности октаэдра:

$A = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (24)^2 = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 576 = 1152\sqrt{3}$

Таким образом, площадь поверхности правильного октаэдра равна 0 0