Question

Хорда СD окружности пересекает её диаметр АВ в точке М. Из-вестно, что СМ=8 см, МD =5 см, AM=4 см, МВ =10 см. Най-дите угол СМВ.

Answer 1

Пусть ∠ СMB= α ; тогда ∠ СMA=(π– α )

Из треугольника СМВ по теореме косинусов

(BC)2=82+102–2·8·10·cos α  

Из треугольника AМC по теореме косинусов

(AC)2=42+82–2·4·8·cos( π – α)

Складываем

(BC)2+(AC)2=82+102–2·8·10·cos α +

+42+82–2·4·8·cos( π – α)

По теореме Пифагора

BC2+AC2=AB2=(4+10)2=142

142=82+102–2·8·10·cos α +

+42+82–2·4·8·cos( π – α);

142=82+102–2·8·10·cos α +

+42+82+2·4·8·cos α ⇒  

cos α =1/2

α = 60 °

Answer 2

Для нахождения угла СМВ можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника СМВ. Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C),$

где $c$ - длина стороны противолежащей углу $C$, а $a$ и $b$ - длины двух других сторон.

В нашем случае, угол $\angle C$ равен углу СМВ, длины сторон $a$, $b$ и $c$ равны 10 см, 8 см и 5 см соответственно.

$\cos(\angle C) = \frac{10^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 10 \cdot 8}.$

Теперь вычислим значение косинуса угла $\angle C$:

$\cos(\angle C) = \frac{100 + 64 - 25}{160} = \frac{139}{160}.$

Теперь найдем значение угла $\angle C$:

$\angle C = \cos^{-1}\left(\frac{139}{160}\right).$

Используя калькулятор, получим приближенное значение:

$\angle C \approx 26.94^\circ.$

Таким образом, угол СМВ равен приблизительно 26.94 градусов.