Question

Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла​

Answer 1

Ответ:

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.

Дано: ∠ВАС,  АМ - биссектриса,

Доказать: d(M, BA) = d(M, CA).

Доказательство:

Проведем МК⊥АВ и МР⊥АС.

МК - расстояние от точки М до АВ, т.е. d(M, AB) = MK,

MP - расстояние от точки М до АС, т.е. d(М, АС) = МР.

Докажем, что МК = МР.

Рассмотрим треугольники АКМ и АРМ:

∠АКМ = ∠АРМ = 90°,

∠КАМ = ∠РАМ, так как АМ - биссектриса,

АМ - общая сторона, ⇒

ΔАКМ = ΔАРМ по гипотенузе и острому углу.

Значит, МК = МР, что и требовалось доказать.

Answer 2

Теорема о биссектрисе угла формулируется следующим образом:

Теорема: В треугольнике каждая биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих к ней отрезков, пропорционально величине прилежащих углов.

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором биссектриса угла ABD (где D — точка пересечения биссектрисы и стороны BC) делит сторону BC на два отрезка BD и CD, причем BD < CD. Давайте обозначим угол ABD через α и угол CBD через β.

Теперь применим закон синусов к треугольникам ABD и ACD:

В треугольнике ABD: $\sin(\alpha) = \frac{BD}{AB}. \quad (1)$

В треугольнике ACD: $\sin(\beta) = \frac{CD}{AC}. \quad (2)$

Также известно, что биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому угол CBD также равен α:

$\beta = \alpha. \quad (3)$

Теперь, используя уравнения (1), (2) и (3), мы можем установить соотношение между BD и CD:

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{\frac{BD}{AB}}{\frac{CD}{AC}} = \frac{BD}{CD}.$

Так как у нас есть соотношение между синусами углов и отношением длин сторон, то:

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = 1.$

Но так как угол α и угол β равны, то $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$ и мы получаем:

$\frac{BD}{CD} = 1,$

что означает, что BD = CD.

Таким образом, биссектриса угла ABD делит сторону BC пополам. Доказательство для биссектрис углов B и C проводится аналогично.

Таким образом, теорема о биссектрисе угла доказана. Биссектриса угла делит противолежащую сторону на две части пропорционально прилежащим углам.