Question

доказать, что если каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника делит его на равные треугольники, то этот четырехугольник - это параллелограмм.

Answer 1

Из равенства треугольников следует равенство противоположных сторон, но если противоположные стороны четырехугольника равны, то по признаку параллелограмма такой четырехугольник является  параллелограммом. что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте предположим, что у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, в котором каждая из его диагоналей делит его на равные треугольники. Мы хотим доказать, что ABCD является параллелограммом.

Давайте обозначим точку пересечения диагоналей как точку O.

Теперь рассмотрим два треугольника: AOB и COD. Поскольку каждая из диагоналей делит четырехугольник на равные треугольники, то эти два треугольника также равны (AOB ≡ COD).

Далее, рассмотрим два треугольника: AOD и BOC. По тем же причинам они также равны (AOD ≡ BOC).

Теперь, чтобы доказать, что ABCD - это параллелограмм, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Мы знаем, что AOB ≡ COD и AOD ≡ BOC.

Рассмотрим два треугольника: AOD и AOB. Поскольку их стороны равны (AOD ≡ AOB) и углы при основании AOD (угол AOD) и угол при основании AOB (угол AOB) являются вертикальными углами (поскольку диагонали пересекаются в точке O), то эти два треугольника подобны.

Из подобия треугольников AOD и AOB следует, что соответствующие углы равны, то есть угол AOD = угол AOB.

Теперь рассмотрим два треугольника: BOC и COD. По тем же причинам они также подобны, и из этого следует, что угол BOC = угол COD.

Теперь обратим внимание, что угол AOB + угол BOC = 180° (они образуют прямую линию), и угол AOD + угол COD = 180° (также образуют прямую линию).

Теперь, если мы сложим эти два равенства, получим:

(угол AOB + угол BOC) + (угол AOD + угол COD) = 180° + 180° Углы AOB, BOC, AOD и COD в сумме дают 360°.

Это означает, что углы AOB, BOC, AOD и COD образуют замкнутый угол, то есть они лежат на одной прямой. Если углы лежат на одной прямой, то противоположные стороны параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если каждая из диагоналей выпуклого четырехугольника делит его на равные треугольники, то этот четырехугольник является параллелограммом.