Question

дві сторони трикутника дорівнюють 3√2 см і 1 см. Знайдіть третю сторону трикутника якщо вона у √2 разів більша за радіус кола описаного навколо трикутника. Скільки розв'язків має задача?

Answer 1

Ответ:

Вариант 1: АС = √13 см.

Вариант 2: АС = 5 см.

Объяснение:

В треугольнике АВС АВ=3√2, ВС=1, АС=√2*R (дано). Найти АС.

По теореме синусов: АС/sinB = 2R.  => R√2/SinB = 2R.

SinB =  √2/2. Значит угол равен 45 градусов и cosB=√2/2. По теореме косинусов:

АС²= АВ²+ВС² - 2АВ*ВС*cosB. Подставляем значения и получаем

АС² =18+1 - 2*3√2*1*√2/2 =13.

АС = √13 см.

Второй вариант:

Угол при вершине В тупой и тогда косинус этого угла отрицательный и равен -√2/2. Тогда

АС²= АВ²+ВС² + 2АВ*ВС*cosB = 18+1 + 6 =25.

АC = √25 = 5 см.

Проверка по теореме о неравенстве треугольника:

Вариант 1: АВ≈4,24; ВС=1; АС≈3,6.  4,24 < 3,6+1. Треугольник существует.

Вариант 2: АВ≈4,24; ВС=1; АС=5.  5 < 4,24+1. Треугольник существует.

Answer 2

Позначимо сторони трикутника як a, b і c, де "a" відповідає 3√2 см, "b" відповідає 1 см, і "c" є третьою стороною, яку ми шукаємо.

За умовою задачі, ми знаємо, що третя сторона трикутника є √2 рази більшою за радіус кола, описаного навколо трикутника. Радіус кола описаного навколо трикутника дорівнює половині довжини його третьої сторони (c).

Тобто, ми можемо записати наступну рівність:

Радіус кола = c/2

Також, ми знаємо, що третя сторона (c) є √2 рази більшою за радіус кола:

c = √2 * (c/2)

Тепер знайдемо значення c:

c = √2 * (c/2)

Спростимо рівність:

c = √2 * c / 2

Помножимо обидві сторони на 2, щоб позбавитися від знаменника:

2 * c = √2 * c

Тепер віднімемо "c" з обох боків рівності:

2 * c - c = √2 * c - c

Отримаємо:

c = √2 * c - c

Тепер можемо виразити c відносно √2:

c = c * (√2 - 1)

Тепер, щоб знайти значення c, подамо його вираз у рівнянні зі значеннями відомих сторін:

c = 3√2 * (√2 - 1)

Тепер розрахуємо це значення:

c ≈ 3√2 * (√2 - 1) ≈ 3√2 * (1.414 - 1) ≈ 3√2 * 0.414 ≈ 1.24 см.

Отже, третя сторона трикутника (c) має довжину приблизно 1.24 см.

Задача має один розв'язок, оскільки для заданих довжин сторін "a" і "b" існує лише одне значення для третьої сторони "c" за умови, що вона є √2 рази більшою за радіус кола описаного навколо трикутника.