Question

Прямоугольник ABCD. BD - диагональ. CK высота проведённая к диагонали = 10. CKB=90 градусов. Тангенс угла ABD = 2.5. Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Answer 1

Ответ: 290 кв. ед.

Объяснение:

∠ABD = ∠BDC как накрест лежащие при AD ║ BC и секущей BD.

Из треугольника CKD:

tg∠KDC = CK/KD  ⇔   KD = 10/2.5 = 4

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов.

CK² = BK * KD  ⇔  BK = 10²/4 = 25

BD = BK + KD = 25 + 4 = 29

$S_{BCD}=\dfrac{CK\cdot BD}{2}=\dfrac{10\cdot29}{2}=145$ кв. ед.

$S_{ABCD}=2S_{BCD}=2\cdot145=290$ кв. ед.

Answer 2

Для решения задачи, нам необходимо найти стороны прямоугольника ABCD.

Из информации, которая дана: CK = 10 (высота) CKB = 90 градусов (прямой угол) Тангенс угла ABD = 2.5

Давайте обозначим стороны прямоугольника: AB = a BC = b

Мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: тангенс(ABD) = AB / BD

Также у нас есть прямой угол CKB, поэтому треугольник CKB является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора: CK^2 + KB^2 = CB^2

Так как у нас задан тангенс угла ABD, мы можем найти отношения сторон треугольника CKB, используя тригонометрические тождества: тангенс(ABD) = CK / KB 2.5 = 10 / KB

Отсюда, находим KB: KB = 10 / 2.5 = 4

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем CB: CK^2 + KB^2 = CB^2 10^2 + 4^2 = CB^2 100 + 16 = CB^2 116 = CB^2 CB = √116 = 2√29 (поскольку CB не может быть отрицательным, взяли положительный корень)

Теперь у нас есть значения сторон CK и CB. Найдем BC через прямоугольник ABCD, используя теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 a^2 + b^2 = (2√29)^2 (подставляем значения CK и CB)

a^2 + b^2 = 4 * 29 a^2 + b^2 = 116

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из данных двух уравнений:

1. a^2 + b^2 = 116 (уравнение 1)
2. 2.5 = a / b (уравнение 2)

Мы можем решить эту систему уравнений, возведя уравнение 2 в квадрат и подставив его в уравнение 1:

(2.5)^2 = (a / b)^2 6.25 = a^2 / b^2

Теперь у нас есть: 6.25 + b^2 = 116

b^2 = 116 - 6.25 b^2 = 109.75

b = √109.75 ≈ 10.48

Теперь, найдем a через уравнение 2: 2.5 = a / 10.48

a = 2.5 * 10.48 ≈ 26.20

Таким образом, стороны прямоугольника ABCD составляют примерно 26.20 и 10.48.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: Площадь ABCD = a * b ≈ 26.20 * 10.48 ≈ 274.50 квадратных единиц.