Question

дві висоти AH1 і BH2 трикутника ABC перетинаються в точці H. відомо, що AH1 = BH2. доведіть, що трикутник AHB-рівнобедрений. ​

Answer 1

Прямоугольные треугольники AH₁B и AH₂B равны по катету и гипотенузе, следовательно, ∠ABH₂ = ∠H₁AB а так как у треугольника AHB углы при основании равны, то ΔAHB - равнобедренный.

Answer 2

Для доведення, що трикутник AHB є рівнобедреним, ми повинні показати, що його бічні сторони AB та AH мають однакову довжину.

Маємо дані:

1. AH1 = BH2 (дано)
2. Висоти AH1 та BH2 перетинаються в точці H (дано)

Потрібно довести: AB = AH

Доведення: Розглянемо трикутник AHB. За властивістю перетину висот в трикутнику, можемо стверджувати, що точка H лежить на прямій AB.

Розглянемо трикутники AH1H та BH2H. Маємо:

Трикутник AH1H: AH1 = AH1 (З однакових точок до однакових точок можна провести рівні відрізки)

Трикутник BH2H: BH2 = BH2 (З однакових точок до однакових точок можна провести рівні відрізки)

Тепер розглянемо трикутник AH1B. У цьому трикутнику:

AH1 = BH2 (дано)

AB - спільна сторона.

За двома співпадаючими сторонами у трикутниках AH1H та BH2H та однакових значеннях висот, які опускаються на ці сторони (AH1 і BH2), можна стверджувати, що ці трикутники є рівними (за правилом SSS).

Отже, трикутники AH1H та BH2H є рівними, і вони мають рівні величини кутів.

Таким чином, кут AHB дорівнює куту BHA, або можна сказати, що трикутник AHB є рівнобедреним, оскільки він має дві рівні сторони AH та BH.