Question

Докажите что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники

Answer 1

Отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника полностью лежит внутри него.

Любой выпуклый многоугольник можно разбить на треугольники, взяв внутри него точку и соединив ее с вершинами.

Любой треугольник можно разбить на два прямоугольных, опустив высоту (в тупоугольном - из тупого угла). Прямоугольный треугольник можно разбить на два равнобедренных, проведя медиану из прямого угла.

Answer 2

Доказательство того, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники, можно провести следующим образом:

Пусть у нас есть выпуклый многоугольник с n сторонами.

1. Рассмотрим любую вершину многоугольника. Проведем из нее диагонали к двум соседним вершинам, таким образом, что получающийся треугольник будет равнобедренным.

2. Теперь у нас есть два многоугольника: один с (n-1) стороной и другой - треугольник. Применим тот же процесс для каждого из этих многоугольников.

3. Продолжим повторять этот процесс, пока не останется только треугольник.

Поскольку каждый шаг уменьшает количество сторон многоугольника на 1, а выпуклый многоугольник имеет конечное число сторон, этот процесс обязательно завершится. После завершения мы получим набор равнобедренных треугольников, разрезав выпуклый многоугольник.

Таким образом, любой выпуклый многоугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.