Question

Окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC и пересекакт сторону BC в точках P и Q, BP=CQ. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Answer 1

Ответ:

-----------------------------

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, нам необходимо показать, что сторона AB равна стороне AC.

Из условия задачи известно, что окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках P и Q. При этом также дано, что BP = CQ.

Рассмотрим треугольник ABP. Поскольку окружность касается стороны AB в точке P, то линия, проведенная из центра окружности до точки касания, будет перпендикулярна к стороне AB. Аналогично, в треугольнике ACQ, линия, проведенная из центра окружности до точки касания, будет перпендикулярна к стороне AC.

Поскольку центр окружности является одной и той же точкой для обоих треугольников ABP и ACQ (поскольку окружность касается обеих сторон), то линии, проведенные из центра окружности до точек касания, будут равны и образуют один и тот же угол с соответствующей стороной.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы видим, что сторона AB имеет общую точку касания с окружностью и образует равные углы с линией, проведенной из центра окружности. Аналогично, сторона AC также имеет общую точку касания с окружностью и образует равные углы с линией, проведенной из центра окружности.

Таким образом, стороны AB и AC образуют равные углы с линией, проведенной из центра окружности, и имеют общую точку касания с окружностью. Из свойств окружности следует, что эти стороны должны быть равными.

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным, где AB = AC.