Question

Докажите, что какая-либо сторона четырехугольника меньше, чем сумма других его сторон.

Answer 1

Ответ:

Допустим мы имеем квадрат. По свойству каждая его сторона равна а.

a+a+a = 3a.

Следовательно, а < 3a.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте предположим обратное: что все стороны четырехугольника не меньше, чем сумма двух других его сторон.

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, и его стороны обозначены как AB, BC, CD и DA. Предположим, что AB ≥ BC + CD и DA ≥ BC + CD.

Теперь рассмотрим замкнутую ломаную ABCDA:

cssCopy code
A ----- B
|\     /|
| \   / |
|  \ /  |
|   X   |
|  / \  |
| /   \ |
|/     \|
D ----- C

Здесь мы добавили точку X внутри четырехугольника ABCD.

Теперь давайте рассмотрим триугольникы XBC и XDA. По неравенству треугольника для каждого из этих треугольников, сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше, чем длина третьей стороны.

Применяя это к треугольнику XBC, получаем: XB + BC > XC

И к треугольнику XDA, получаем: XD + DA > XA

Теперь сложим оба неравенства: (XB + BC) + (XD + DA) > XC + XA

Поскольку XB + XD = AB и XA + XC = AC (поскольку XBC и XDA - это диагонали четырехугольника ABCD), мы можем записать: AB + AC > XC + XA

Таким образом, мы получили неравенство, которое гласит, что сумма сторон AB и AC больше, чем сумма сторон XC и XA. Но это противоречит нашему предположению, что AB ≥ BC + CD и DA ≥ BC + CD.

Таким образом, наше предположение было неверным, и мы можем заключить, что в четырехугольнике хотя бы одна сторона меньше, чем сумма других его сторон.