Question

В плоскости xy найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: A(0;1;-1), B(-1;0;1), C(0;-1;0).

Answer 1

DA^2=(x-0)^2+(y-1)^2+(0+1)^2=x^2+y^2-2y+2

DB^2=(x+1)^2+(y-0)^2+(0-1)^2=x^2+2x+y^2+2

DC^2=(x-0)^2+(y+1)^2=x^2+y^2+2y+1

DA^2=DB^2=DC^2

получу систему уравнений

1)DA^2=DB^2

x^2+y^2-2y+2=x^2+2x+y^2+2

-2y=2x; y=-x

2)DB^2=DC^2

x^2+y^2+2x+2=x^2+y^2+2y+1

2x+2=2y+1

2y=2x+1

y=x+0.5

-x=x+0.5

2x=-0.5

x=-0.25

Ответ D(-0.25;0.25;0)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек, а d - расстояние между ними.

Мы хотим найти точку D, которая равноудалена от точек A, B и C. Пусть (x, y, 0) - координаты точки D. Тогда расстояния от точки D до точек A, B и C должны быть одинаковыми.

Давайте рассчитаем эти расстояния:

dAD = √((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (0 - (-1))^2) = √(x^2 + (y - 1)^2 + 1)

dBD = √((x - (-1))^2 + (y - 0)^2 + (0 - 1)^2) = √((x + 1)^2 + y^2 + 1)

dCD = √((x - 0)^2 + (y - (-1))^2 + (0 - 0)^2) = √(x^2 + (y + 1)^2)

Так как точка D должна быть равноудалена от точек A, B и C, мы можем приравнять эти расстояния:

√(x^2 + (y - 1)^2 + 1) = √((x + 1)^2 + y^2 + 1) = √(x^2 + (y + 1)^2)

Мы можем возвести обе части этого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

x^2 + (y - 1)^2 + 1 = (x + 1)^2 + y^2 + 1 = x^2 + (y + 1)^2

Раскрывая скобки и сокращая, получим:

y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 = y^2 + 2y + 1

Сокращаем еще раз:

-2y = 2x y = -x

Теперь, зная значение y, мы можем выразить x из любого из трех уравнений, например:

x^2 + (y - 1)^2 + 1 = 0

Подставляя y = -x, получаем:

x^2 + (-x - 1)^2 + 1 = 0

Раскрываем скобки и упрощаем:

x^2 + (x + 1)^2 + 1 = 0 x^2 + x^2 + 2x + 1 + 1 = 0 2x^2 + 2x + 2 = 0

Делим обе части на 2:

x^2 + x + 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое не имеет действительных корней. Это означает, что не существует точки D в плоскости xy, которая равноудалена от точек A, B и C.