Question

Ромб разрезали на две равнобокие трапеции, периметры которых равны 6 и 9. Сделайте чертеж и найдите периметр ромба.

Answer 1

Ответ: 10

Объяснение:

Рассмотрим ромб, у которого острый угол достаточно большой (больше 60°) (иначе описанные ниже построения не получатся)

Выполним построение:

1. Отметим M -- середину отрезка AB

2. Отметим точку H на отрезке AM, она должна лежать ближе к точке M (иначе п. 4 не выполнится)

3. Проведём через точку Н прямую a ⊥ AB.

4. Отметим точку N -- пересечение прямой a и отрезка CD.

5. Построим точку E на стороне AB, при этом AH = HE

6. Аналогично строим точку F на стороне CD: DN = NF

7. Проводим EF.

8. AEFD и EBCF -- искомое деление на две равнобокие трапеции.

Докажем, что ромб был разделён на две равнобокие трапеции:

Итак, имеем четырёхугольник ADFE.

В нём AE || DF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба),

а AD ∩ EF (*см. ниже).

Следовательно, ADFE -- трапеция (по опр.).

Чтобы доказать, что трапеция равнобокая, используем следующую теорему:

Если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна её основаниям, то трапеция равнобокая.

По построениям AH = HE, DN = NF, HN ⊥ AE  ⇒  ADFE -- равнобокая трапеция, то есть AD = EF.

Рассмотрим четырёхугольник EBCF:

EB || CF (отрезки лежат на параллельных сторонах ромба).

AD ∩ EF, AD || BC (ромб)  ⇒ BC ∩ EF

Следовательно, EBCF -- трапеция (по опр.).

Так как ABCD -- ромб, то AD = BC  ⇒  EF = BC  ⇒  EBCF -- равнобокая трапеция.

Построения обоснованы.

Решение:

Из доказательства выше было получено: AD = EF = BC.

Из формулы периметра ромба имеем:

$P_{ABCD}=4AD\quad \Rightarrow\quad AD=\dfrac{P_{ABCD}}{4}$

По условию:

$P_{AEFD}=9\\ P_{EFCB}=6$

Сложим оба периметра:

$P_{AEFD}+P_{EFCB}=AE+EF+FD+DA+EF+FC+BC+BE=\\ \\ =(AE+BE)+(FD+FC)+DA+BC+2EF=(AB+CD+DA+BC)+2EF=\\ \\=P_{ABCD}+2AD=P_{ABCD}+2\cdot \dfrac{P_{ABCD}}{4} =\dfrac{3}{2} P_{ABCD}$

С другой стороны:

$P_{AEFD}+P_{EFCB}=9+6=15$

Имеем:

$\dfrac{3}{2} P_{ABCD}=15\quad \Rightarrow\quad P_{ABCD}=\dfrac{2}{3}\cdot 15=10$

Ответ: 10

(*) Данный факт доказывается от противного.

Допустим, что AD || EF.

Тогда AE || DF, AD || EF  ⇒  ADFE -- параллелограмм  ⇒   AE = DF.

Прямая а -- средняя линия (по постр.), то есть, a || AD, тогда AD ⊥ CD  ⇒  ABCD -- квадрат.

Квадрат нельзя разделить на равнобокие трапеции. Одна из сторон квадрата должна быть боковой стороной будущей трапеции. А части двух прилежащих сторон --  её основаниями. Так как AD ⊥ CD, то трапеция будет прямоугольной. Но трапеция не может быть и прямоугольной, и равнобедренной (она превращается в прямоугольник).

Получаем противоречие. Значит AD ∩ EF.

Answer 2

Давайте рассмотрим ромб и разрежем его на две равнобокие трапеции, как показано на чертеже ниже:

cssCopy code
      A
     / \
    /   \
   /     \
D/_______\B
   \     /
    \   /
     \ /
      C

Пусть AB и CD - основания трапеций, а AD и BC - боковые стороны ромба. Периметр ромба равен сумме длин его сторон, поэтому нам нужно найти длины сторон ромба.

Из условия известно, что периметр первой трапеции равен 6, что означает, что сумма длин ее боковых сторон равна 6. Пусть эта сумма равна x:

AD + BC = x (1)

Аналогично, периметр второй трапеции равен 9:

AB + CD = 9 (2)

Так как ромб симметричен, длины сторон AD и BC также равны, и мы можем обозначить их через y:

AD = BC = y

Из уравнения (1) получаем:

2y = x

y = x/2

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеций через x и y:

AB = AD + BD = y + y = 2y = x CD = BC + BD = y + y = 2y = x

Из уравнения (2) получаем:

AB + CD = 2x = 9

x = 9/2 = 4.5

Теперь, когда мы знаем длины сторон ромба (AD = BC = y = x/2 = 4.5/2 = 2.25), мы можем найти его периметр:

Периметр ромба = 4 * AD = 4 * 2.25 = 9

Таким образом, периметр ромба равен 9.