Question

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости то она перпендикулярна этой плоскости. Помогите просто и коротко доказать эту теорему. Даю 100 баллов

Answer 1

Ответ:

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q. Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС.

Answer 2

Доказательство:

Пусть у нас есть две пересекающиеся прямые, назовем их l1 и l2, и прямая, перпендикулярная обеим прямым, обозначим ее как l3. Предположим, что прямая l3 пересекает прямые l1 и l2 в точках A и B соответственно.

1. Из определения перпендикулярности следует, что угол между перпендикулярной прямой и любой из пересекающихся прямых равен 90 градусам. Обозначим этот угол между l1 и l3 как α и между l2 и l3 как β.

2. Также, по определению пересекающихся прямых, угол между l1 и l2 обозначим как γ.

3. Поскольку l1 и l2 лежат в одной плоскости, то угол γ между ними также лежит в этой плоскости.

4. Из того, что углы α и β равны 90 градусам (по условию), а угол γ лежит в плоскости прямых l1 и l2, следует, что l3 перпендикулярна плоскости, в которой лежат l1 и l2.

Таким образом, мы доказали, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Надеюсь, это доказательство ясно и понятно. Спасибо за предложенные 100 баллов! Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать.