Question

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC Расстояние от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

Насколько мне помнится, то тут нужно решать объяснениями, если да то: Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём

Отрезки и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем а из равенства треугольников BOL и BOM — Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма т.е 168

Answer 2

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём

Отрезки и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем а из равенства треугольников BOL и BOM — Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:



Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Ответ:

Answer 3

Площадь параллелограмма можно найти, зная длину его диагонали и длину высоты, опущенной на эту диагональ.

В данном случае, длина диагонали AC равна 5, и длина высоты, опущенной из точки O на эту диагональ, также равна 5. Это означает, что треугольник AOC является равнобедренным.

Поскольку точка O является центром вписанной окружности треугольника ABC, отрезок OA является радиусом этой окружности. Так как расстояние от точки O до прямой AC равно 3, то OA также является высотой треугольника AOC, опущенной на сторону AC.

Из равнобедренности треугольника AOC следует, что высота OA разделяет его на два равных прямоугольных треугольника, каждый со сторонами 3, 4 и 5. Эти треугольники имеют площади 6 и 6 соответственно.

Таким образом, площадь треугольника AOC равна 6 + 6 = 12.

Параллелограмм ABCD состоит из двух равных треугольников AOC и BOD, поэтому его площадь равна удвоенной площади треугольника AOC.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 2 * 12 = 24.