Question

1) E(4;12), F(-4;-10), G(-2:6), H(4;-2) найти: а) координаты векторов EF,GF б)длину вектора FG в) координаты точки О- середины EF г) координаты точки W- середины GH д)длину: OW; EH е) уравнение окружности с диаметром FG ж) уравнение прямой FH 2) А(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4). Доказать что ABCD- параллелограмм

Answer 1

Ответ:

а) координаты векторов EF,GH; Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. EF{(-4-4;-10-12} => EF{-8;-22}.  GH{4-(-2);-2-6} => GH{6;-8}.

б) длину вектора FG; Модуль вектора (его длина) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. |FG|=√((Xg-Xf)²+(Yg-Yf)²) => √((-2-(-4))²+(6-(-10))²) или √260 = 2√65.

в) координаты точки О – середины EF; координаты точки W – середины GH; координаты середины отрезка EF найдем по формуле: X=(Xe+Xf)/2;Y=(Ye+Yf)/2 или  О(0;1);  W(1;2).  

г) OW; EH; Координаты этих векторов: OW{1;1};  EH{0;-14}. Их модули (длины): |OW|=√(1²+1²) = √2.  |EH|=√(0+14²) =14.

д) уравнение окружности с диаметром FG; Центр этой окружности в середине отрезка FG: J(-3;-2). Радиус окружности - половина длины отрезка FG (длина отрезка FG найдена в п.б): √65. Уравнение окружности: (X-Xц)²+(Y-Yц)²=R²  =>  (X+3)+(Y+2)=65.

е) уравнение прямой FH; каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки: (X-X1)/(X2-X1)=(Y-Y1)/(Y2-Y1) В нашем случае это уравнение: (X+4)/8=(Y+10)/8  => X-Y-6=0 (общее уравнение прямой) => Y=X-6 - уравнение с угловым коэффициентом (k=1).

Объяснение:

Answer 2

1. а) Координаты вектора EF: EF = F - E = (-4, -10) - (4, 12) = (-8, -22)

Координаты вектора GF: GF = F - G = (-4, -10) - (-2, 6) = (-2, -16)

б) Длина вектора FG: FG = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) FG = sqrt((-2 - (-4))^2 + (-16 - (-10))^2) FG = sqrt(2^2 + (-6)^2) FG = sqrt(4 + 36) FG = sqrt(40)

в) Координаты точки О - середины EF: О = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) О = ((4 - 4) / 2, (12 - 10) / 2) О = (0, 1)

г) Координаты точки W - середины GH: W = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) W = ((-2 + 4) / 2, (6 - 2) / 2) W = (1, 2)

д) Длина OW: OW = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) OW = sqrt((1 - 0)^2 + (2 - 1)^2) OW = sqrt(1 + 1) OW = sqrt(2)

Длина EH: EH = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) EH = sqrt((4 - 4)^2 + (-2 - 12)^2) EH = sqrt(0 + 196) EH = sqrt(196) EH = 14

е) Уравнение окружности с диаметром FG: Уравнение окружности с центром (x0, y0) и радиусом r: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

Центр окружности: (x0, y0) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) (x0, y0) = ((-2 + (-4)) / 2, (6 + (-10)) / 2) (x0, y0) = (-3, -2)

Радиус окружности: r = FG / 2 = sqrt(40) / 2 = sqrt(10)

Уравнение окружности: (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 10

ж) Уравнение прямой FH: Уравнение прямой в общем виде: Ax + By + C = 0

Найдем коэффициенты A, B и C, подставив координаты точек F(-4, -10) и H(4, -2): -4A - 10B + C = 0 4A - 2B + C = 0

Решив систему уравнений, получим: A = 2/3, B = -4/3, C = 0

Уравнение прямой FH: (2/3)x - (4/3)y = 0

2. Для доказательства того, что ABCD является параллелограммом, необходимо проверить, что противоположные стороны параллельны.

Вектор AB = B - A = (4, 2) - (1, 1) = (3, 1) Вектор CD = D - C = (2, 4) - (5, 5) = (-3, -1)

Вектор BC = C - B = (5, 5) - (4, 2) = (1, 3) Вектор AD = D - A = (2, 4) - (1, 1) = (1, 3)

Противоположные стороны AB и CD имеют одинаковые направления, а противоположные стороны BC и AD также имеют одинаковые направления. Это означает, что все стороны параллельны, и поэтому ABCD является параллелограммом.