Question

ПЖ ПОМОГИТЕ.....Общая хорда двух пересекающихся окружностей проходит через их центр под углом 90 и 60 градусов. Найдите их радиусы. если расстояние между центрами окружности равно корень из 3 + 1.

Answer 1

Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углом 90° и 60°. Найдите их радиусы. если расстояние между центрами окружностей равно √3 + 1.

Ответ:

R = 2, CA = √2   или

$R=4+2\sqrt{3}$,     $CA=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Объяснение:

Возможны два варианта расположения окружностей.

1. Центры окружностей расположены по разные стороны от хорды.

ОА = ОВ = R, ∠АОВ = 60°, значит ΔАОВ равносторонний, тогда

АВ = R.

Отрезок, соединяющий центры окружностей, перпендикулярен их общей хорде и делит ее пополам.

ОН - высота и медиана равностороннего треугольника, значит

$OH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

СН - медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, значит

$CH=\dfrac{R}{2}$

По условию ОС = √3 + 1. Составим уравнение:

$\dfrac{R\sqrt{3}}{2}+\dfrac{R}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R}{2}=1$

R = 2

$CA=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ как катет равнобедренного треугольника.

$\boldsymbol{CA}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\boldsymbol{\sqrt{2}}$

2. Центры окружностей расположены по одну сторону от хорды.

Получим другое уравнение:

$\dfrac{R\sqrt{3}}{2}-\dfrac{R}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

Избавимся от иррациональности:

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}$

$\boldsymbol{R=4+2\sqrt{3}}$

$\boldsymbol{CA=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

Answer 2

Пусть радиус первой окружности равен r₁, а радиус второй окружности равен r₂.

Мы знаем, что расстояние между центрами окружностей равно корень из 3 + 1. Это означает, что r₁ + r₂ = √3 + 1.

Также у нас есть две хорды, обе проходят через центры окружностей. Первая хорда образует угол 90 градусов, а вторая хорда образует угол 60 градусов.

Рассмотрим первую хорду, образующую угол 90 градусов. Поскольку эта хорда проходит через центры окружностей, она является диаметром каждой окружности. Таким образом, диаметр первой окружности равен 2r₁, а диаметр второй окружности равен 2r₂.

Рассмотрим теперь вторую хорду, образующую угол 60 градусов. Поскольку эта хорда проходит через центры окружностей, она также является диаметром каждой окружности. Таким образом, диаметр первой окружности равен 2r₁, а диаметр второй окружности равен 2r₂.

Мы можем записать следующие уравнения на основе вышесказанного:

2r₁ = r₂ 2r₂ = r₁√3

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Из первого уравнения имеем r₂ = 2r₁.

Подставим это во второе уравнение:

2(2r₁) = r₁√3

4r₁ = r₁√3

Разделим обе части на r₁:

4 = √3

Видим, что это уравнение не выполняется. Это означает, что нет решения для данной системы уравнений.

Таким образом, не существует окружностей, удовлетворяющих условиям с данными углами и расстоянием между центрами.