Question

В ромбе MNPQ MP=12, NQ=16. Высота PH проведена к стороне MN. Найдите PH.

Answer 1

Решение.

Найдём сторону ромба.

Диагонали ромба обладают таким свойством, согласно которому они пересекаются под прямым углом и точка пересечения их делит пополам. 

Таким образом, МР ⋂ QN, МР ⟂ QN, MO=OP, QO=ON.

В ΔMON(уголMON=90°): МО=½МР=6;

ON=½QN=8.

По т. Пифагора:

MN²=MO²+ON²;

MN²=6²+8²;

MN²=36+64;

MN²=100;

MN=10 ( -10 не удовлетворяет условие задачи).

Теперь, у нас есть две формулы нахождения площади ромба:

1. S= d¹d²/2 (где d¹ и d² - диагонали ромба);

2. S= ah (где а - сторона ромба, h - его высота, то есть РН в нашем случае).

Итак.

S= d¹d²/2= MP×QN/2= 16×12/2= 96.

S=ah => 96= MN×PH;

PH= 96/MN;

PH= 96/10;

PH= 9,6.

Ответ: 9,6.

Рисунок во вложении поможет понять решение.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике.

В ромбе MNPQ диагонали MN и PQ пересекаются в точке H. Так как ромб является равнобедренным, то высота PH является биссектрисой угла MPQ и делит угол MPQ пополам. Таким образом, треугольник MPQ делится на два прямоугольных треугольника.

Давайте обозначим стороны ромба следующим образом: MP = a NQ = b

Так как MNPQ - ромб, то MQ является диагональю и делит ромб на два равнобедренных треугольника. Таким образом, треугольник MPQ - прямоугольный треугольник, а его гипотенуза равна диагонали MQ.

Из условия задачи, MQ = 16 и MN = 12.

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника MPQ, чтобы найти значение PH:

PH^2 + HQ^2 = PQ^2

Так как треугольник MQP является прямоугольным, то можно записать следующее:

MQ^2 = MP^2 + PQ^2

Мы знаем, что MQ = 16, MP = 12, поэтому:

16^2 = 12^2 + PQ^2

256 = 144 + PQ^2

PQ^2 = 256 - 144

PQ^2 = 112

Теперь мы можем использовать найденное значение PQ^2, чтобы решить уравнение для PH:

PH^2 + HQ^2 = PQ^2

PH^2 + (NQ - HQ)^2 = PQ^2

PH^2 + (b - PH)^2 = 112

PH^2 + b^2 - 2bPH + PH^2 = 112

2PH^2 - 2bPH + b^2 - 112 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для PH. Однако, для этого нам нужно знать значение b (NQ). Если вы можете предоставить это значение, я могу продолжить решение задачи.