Question

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяли точки K и M так, что угол MAK равен 45 градусов. Известно, что KC=3, CM=4, KM=5. Найдите сторону квадрата ABCD.

Answer 1

Найдем центр вневписанной окружности KCM.

Угол между биссектрисами внешних углов при K и M равен 90 -С/2 =45.

Отрезок KM виден из центра под углом 45.

Центр лежит на биссектрисе угла С.

Точка A является искомым центром т.к. удовлетворяет обоим условиям.

В, D - точки касания на продолжениях сторон (радиусы в эти точки перпендикулярны касательным).

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника (N) делит периметр пополам.

(Отрезки касательных из одной точки равны: CB=CD, KB=KN, MN=MD => CK+KN=CM+MN)

CB =CK+KN =(3+4+5)/2 =6

Answer 2

Обозначим сторону квадрата ABCD как x. Так как KM является диагональю квадрата ABCD, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KCM имеем:

KC^2 + CM^2 = KM^2

Подставляя значения, получаем:

3^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25

25 = 25

Таким образом, утверждение теоремы Пифагора выполняется. Из этого следует, что треугольник KCM является прямоугольным треугольником. Так как угол MAK равен 45 градусов, то треугольник KAM также является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке A.

Поскольку KA и KM являются сторонами прямоугольных треугольников, а также сторонами квадрата ABCD, то мы можем сделать вывод, что сторона квадрата ABCD равна длине отрезка KA + KM.

Из треугольника KAM известно, что KA = KM/√2, так как угол MAK равен 45 градусам. Подставляя значение KM = 5, получаем:

KA = 5/√2

Чтобы найти длину стороны квадрата ABCD, нам нужно сложить KA и KM:

x = KA + KM = 5/√2 + 5

Для удобства рационализуем дробь, умножив ее на √2/√2:

x = (5/√2) * (√2/√2) + 5 = (5√2)/2 + 5

Таким образом, сторона квадрата ABCD равна (5√2)/2 + 5.